y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? & 유리화는 왜하는걸까?
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00011115763
안녕하세요. 일반청의미입니다.
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까? : http://orbi.kr/00010841663
저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!
곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? : http://orbi.kr/00010980265
정답갑니당.
A : y=0 말고 y=1/2x도 접선, y=-1/2x도 접선…. 그러면 접선이 매우 많아지죠.
원점을 지나고 기울기가 -1에서 1 사이인 직선 모두가 접선이 됩니다.
모두가 원점을 스치면서 지나가니까요
접선의 정확한 정의는 미분계수를 기울기로 갖는 직선입니다.
미분계수는 그래프 위 두 점 사이의 기울기의 극한이며, 접선의 정확한 정의는 할선의 극한입니다.
할선의 극한이라는 말이 애매하지만, 극한의 정의로 미루어보면 극한값이 존재하려면, 좌극한과 우극한이 같은 값으로 수렴해야 합니다.
직선으로 확장시켜보면, 좌측에서 가까워져 가는 할선과 우측에서 가까워지는 할선의 극한 모두 한 직선으로 일치해야 합니다.
이렇게요!
좌극한과 우극한이 다르면 극한의 정의에 의해 어떤 것에 가까워진다고 단정짓기 애매하니까요! 그 사이 어떤 값을 택해야할지 애매한 것입니다.
우리는 한점에서 직선을 그을 수 없습니다. 하지만 접선은 그을 수 있게 된 이유는 극한을 통해 그 직선을 정확하게 하나로 결정할 수 있었기 때문입니다. 결정할 수 없다면? 당연히 한점에서 직선을 그을 수 없으니, 접선이 정해지지 않겠죠! 보통 뾰족점에서 접선이 무한히 많이 생깁니다. 이것을 첨점이라 하며, 그 점에서 함수는 미분 불가능합니다.
x값에 그 값에서의 미분계수가 y값이 되어 대응되는 함수를 도함수라 합니다.
도함수도 함수입니다! 즉 x값 하나에 y값 하나가 대응되어야하며, 도함수가 존재하려면 원함수가 정의되는 곳에서 모두 미분 가능해야 합니다.
접선이 많으면, 대응되는 접선의 기울기가 1개 이상이기 때문입니다.
Q : 그렇다면 왜 y=|f(x)|에 미분 불가능한 점이 생길 가능성이 있을까요?
절댓값의 정의는 수직선 위의 원점에서 어떤 점까지의 거리입니다. 항상 양수에요.
절댓값 기호 안의 값이 음수일 때는 마이너스가 붙어서 양수가 됩니다.
절댓값 기호 안의 값이 양수일 때는 f(x), 절댓값 기호 안의 값이 음수일때는 –f(x).
즉, 함숫값의 부호가 바뀔 때 함수또한 바뀐다는 것입니다!
서로 다른 함수 y=f(x)와 y=–f(x)가 이어져 있습니다. f(x)가 모든 실수에서 미분가능한 함수라 하더라도 y=f(x)와는 다른 함수 y=-f(x) 두개가 이어져있을때 미분 가능한지는 알 수 없습니다.
즉 함수가 바뀌는 부분에서 미분가능한지를 조사해야합니다.
함수가 바뀌는 부분이 어디인지에 주목하면 미분가능성 문제를 수월하게 풀 수 있습니다.
1. f(x)와
에 절댓값이 붙어있다. 이 절댓값 함수는 어디에서 바뀔까?
2. f(x)는 x=-1에서 함수가 바뀐다. 그러면 이것을 기준으로 나눠주면 될거야.
3.
는 어디에서 함수가 바뀔까?
……………….
이런 식으로 문제풀이가 진행됩니다.
1. g(x)가 절댓값이 두개 붙어있다. g(x)는 x에 따라 함수식이 바뀔거야.
2. 바깥의 절댓값을 생각하기엔 안의 절댓값 때문에 정확하게 알 수가 없다.
3. 일단 맨 안쪽의 절댓값부터 생각해보자. X=0 좌우에서 함수가 바뀔거야.
4. X=0 주변에서는 함숫값이 1 근처일거야. 그 주변에서는 항상 양수일거야.
5. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
6. X가 0이상에서는 함수가 언제 바뀔까?
7. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
사실 문제를 풀 때, 계산을 전혀 할 수 없어서 문제를 못푸는 경우보다는
문제를 풀기위한 아이디어가 부족해서 못푸는 경우가 많습니다.
그러므로 그 아이디어를 계속 고민해야하며, 그 근거는 개념에 있습니다.
사실 많은 분들이 예견해주신듯 합니다..ㅋㅋㅋ
요약하자면, 극한값은 좌극한과 우극한이 일치해야 존재합니다.
일치하지 않으면, 그 사이의 어떤 값으로 가까워지는가를 설명하기 힘들기 때문입니다.
그러면 다음주제를 소개해볼게요
유리화는 왜 하는걸까?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
ㅇㅇ..
-
정상이죠 그쵸 ....
-
1학년 1학기 수학 상,하 1학년 2학기 수학1 2학년 1학기 수2, 확통/탐구...
-
2개씩 골라서 해야지
-
제목어그로 ㅈㅅ 대성마이맥 pc로는 강의가 다운이 안되나요?
-
포도맛 벌컥벌컥
-
실력이 올라갈수록 틀리는 게 제일 어러운게 아니고 랜덤이라는 생각이 듬 뽑기같음...
-
방학때 국어 공부 안하고 이청준 전집사서 아침마다 읽어봐야지
-
ㅂㅂ요 13
잠시동안 즐거웠슴다
-
맞춤법은 이해 좀..
-
나만그럼?
-
피뎁충 많아서 반박 없을 거 같긴해 ~
-
Zzzㅋzzzㅋ 추천영상(for you)에 200만 유튜버인 내가 하루아침에...
-
화작 vs 언매 6
고2 정시파이터입니다. 이제 곧 기말이 끝나고 여름방학이라는 시기가 찾아오네요....
-
수학 실모 추천 11
서바이벌 강대모의고사k 킬링캠프 장영진모의고사 이로운모의고사 설맞이모의고사...
-
지구 1등급 8
현역 수능 2등급 이었는데 수능 판 온지 너무 오래 되어서 .. 기억이 거의...
-
투과목 문제는 왤케 무섭게 생겼지 생긴것부터 거부감드는데
-
고2 정시파이터입니다 고2 3모 6모 기준 백분위 98 정도 나오고 화작 선택할...
-
소중하고 주머니에 넣고 다니고 싶음 커리도 전부 사서 완강하고 소장하고싶음
-
생2 도와주세요 3
ㄴ 선지 atp수로 판단하던데 평소에 기출같은거 풀때 만들어지는 물분자의 수랑 아예...
-
초딩~고등학교 수시할 때까지는 그런 줄 알았는데 지금보니 딱히 저능아는 아닌 듯..;;
-
고등학교 때까지만 해도 체대 고민해볼 정도였는데 이젠 친구 이삿짐 옮겨주는 것도...
-
제가 고2 시작하자마자 자퇴해서 수1,2, 미적 다 노베였습니다.. 4월에 개념...
-
강윤구T 질문 6
지금 포3공통 듣고 있고이후에 포2랑 4공법스타터 병행할 예정인데 기출구는 언제 하는게 좋을까요??
-
저능한 사람은 본 적 없음 어떤 분야든 제가 항상 가장 저능했던 것 같음
-
다룬 모든 강사들이 진실을 외면하고 공부가 노력으로 된다 말하던 때 공부는 당연히...
-
화작런 0
요즘 약간 개념 흔들리기도 하고있고 약간 화작런 할까 아님 전형태 언매 클리어...
-
쇼츠에서 말하는 거 들어보니 내가 평소에 하던 생각이랑 비슷한 생각을 갖고 계시군
-
ㅋ
-
맞더라 근데 사는데 지장 없음
-
https://youtube.com/shorts/nTqkKYLh4Jc?si=9we2L...
-
ㅈㄱㄴ
-
2028부터 정시는 확통이랑 통사,통과만 응시하는데 논술은 지금도 미확기 다 내고...
-
[단독] 첫 인구부 장관에 여성 거론…"저출생 어려움 체감해야" 14
저출생 문제에 대응할 부총리급 인구전략기획부(인구부) 신설 계획이 발표된 가운데...
-
체력이 딸린다
-
정시로 '-1명' 이월될 상황이라서 몇년 뒤 수시에서 1명 덜 뽑기로 하고 정시...
-
와쿠와쿠
-
ㅋㅋ 관심 없을려나
-
학교 측의 결정도 이해가 안 가는 결정은 아닌거 같기도 함 28수능부터 탐구가...
-
4일 뒤면 7모인뎅.... 나만 관심있지 ㅠㅠ
-
인문논술 개쌉노베라 지금부터 일주일에 3-4시간 씩은 투자하고 싶은데 1달 정도는...
-
수2 개념은 3월에 시발점으로 시작했고, 미적분까지 완강했고 현재 수2 기출...
-
ㄹㅇ 가슴이 뛰는 일도 없고 뭐 해야 할지도 모르겠고
-
일단 작수는 문법 다 맞음. 백분위 99 근데 가끔 언매 시간 20분 쓰고 시험...
-
궁금함
-
대치동에 어지간한 사람들 다 반대하던데 확실히 대치동이나 8학군 분들이 눈치도...
-
진짜 내 우산 함부로 써놓고 함부로 다른데 꽂아놓은 무개념이 오르비를 할 지는 잘...
Lim (a-b)와 같은 형태에서 a,b 둘다 발산하는 형태이면 극한의 연산과 관련된 형태를 사용할 수 없기 때문에 유리화를 통해 극한의 연산 법칙을 적용 가능한 형태로 바꿔주는것 아닌가요...? 그나저나 일반청의미님 글이 모아보기에서 계속 안보여욤 ㅠㅠ
그래도 lim c/d 에서 c, d 둘다 발산하는 형태일걸요!
사실 lim (x-1)/(x-2)같은거에서 최고차항 지수/계수비교하는게 일상화되어서 놓칠수 있는 부분이지만 x값이 임의의 상수값이 아닌 무한대로 발산했을때의 극한의 경우 lim1/x=0과 같은 몇개의 공리를 적용할 수 있는 형태로 변형한다 (ex.x-1/x-2를 (1-(1/x))/(1-2/x))와 같은 형태로 )뭐 그렇게 배웠던 기억이 나서욤! 유리화도 비슷한 맥락으로 이해했던것같은...
넹 더 자세하게 설명해주면 되십니당.
또한 분모의 유리화는 왜 하는지도 생각해주시면 좋아요.
유익한정보 고맙습니다~~ 이런글은 닥팔이야! ^,^