Art149 - 수학 기출을 보는 태도

안녕하세요 Art149입니다. 

수학관련 칼럼을 원하는 분들이 많았는데, 예정보다 좀 늦었네요.

아직 미완성입니다만 분명히 얻어갈 것이 많은 칼럼이라고 생각합니다.

바로 시작하겠습니다.

Art149 - 수학 기출을 보는 태도(미완)

아직 칼럼은 완성되지 않았습니다.

그 점 참고하시고 쭉 보시면 됩니다.

많은 분들이 수학 고난도 문제를 맞추기 위해서 어떤 공부를 해야되는지,

아무리 공부를 해도 21번 30번 맞추기가 힘든데 어찌 공부해야 되는건지를 

많이 질문하셨습니다.

기출을 분석하면 된다던데 어떻게 기출을 분석해야 되는지,

어떤 시각으로 수학문제를 봐야하는지 너무 막막하니까 

그냥 풀고 채점하고 -> 풀이 익히고 -> 여러번 푸니까 

이제 다 풀 수 있는데 막상 새로운 문제 나오면 또 털리고...

n제를 풀어야 될 지 , 기출을 다시 봐야할지 , 인강을 들어야 되는건지 

막막한 분들을 위해 이 칼럼을 작성합니다.

어떤 시각으로 문제를 봐야하는지 어떻게 수학 공부를 해야되는건지 

이런 물음에 대한 답이 되었으면 좋겠습니다.

수학 기출을 풀 때의 태도

1. 문제 조건 파악 꼼꼼히 할 것

2. 거꾸로 생각하기 / 필연성

3. 왜? / 피드백

이 세가지는 제가 수학수업을 할 때 , 제일 처음 말하는 3가지 입니다. 

단순하고 당연하지만 이걸 못해서 보통 틀리니까요

각각 자세히 설명하도록 하겠습니다. 

1. 문제 조건 파악 꼼꼼히 하기 

학생들을 보다보면 가끔 

아 이거 못봤네 아이고 다음부터는 실수하지 말아야지

꼼꼼히 문제체크하자!!아자!!  

이런식으로 문제 조건 파악을 못한걸 넘어가는 분들이 있습니다.

그건 실수가 아니라 문제 조건을 파악하는 실력이 부족한거라고 생각하셔야 합니다.

문제에서 얘기한 조건들은 써먹으라고 준거니까 꼭! 파악을 완벽하게 하셔야 합니다.

2. 거꾸로 생각하기 / 필연성

이과/문과에게 둘 다 설명을 하기 위해 미적분1문제를 가져왔습니다.

15수능 나형 21번입니다.  자 먼저 풀어보세요.

귀찮다고 안 풀지 말고 풀어보세요ㅎㅎ

뭐 풀이 2가지정도만 작성해볼까요?

보통 학생들의 사고는 이렇게 흘러가겠죠

음 f(x) 는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수네

f(x)=x³+ax²+bx+c 로 두자

조건 (나) 를 보니까 b=c 네 

따라서 

f(x)=x³+ax²+bx+b 고

f'(x)=3x²+2ax+b

풀이 1) 

흠 조건 (다)를 써먹어야 될 것 같은데..흠..

f(x)-f'(x)≥0 (x≥-1일때)

f(x)-f'(x)=x³+(a-3)x²+(b-2a)x≥0 (x≥-1일때)

흠..어라 보니까 위의 좌변이 x를 인수로 갖네, 그래프를 그려보면

(0,0) 을 지나는데 조건 (다)에 의해 x≥1 이면 f(x)-f'(x)≥0 이므로

0에서 접하는구나!!! 그럼 f(x)-f'(x)는 x²를 인수로 가지니까 

b-2a=0이구나 그리고 x=-1일 때 f(x)-f'(x)≥0 이니까

-1+(a-3)≥0 이고, 따라서  a≥4

f(x)=x³+ax²+2ax+2a

f(2)=10a+8

a≥4이므로 f(2)의 최소값은 48!!!!

풀이 2)

g(x)=f(x)-f'(x) 라는 새로운 함수를 정의하자

조건 (나)에 의해 g(0)=0

조건 (다)를 변형하면 g(x)≥0=g(0) (x≥-1일때)

g(x)≥g(0) (x≥-1일때) 이므로 

g(x)는 (x≥-1인 범위일때) x=0에서 최솟값을 갖는다.

이 때 f(x),f'(x)는 미분가능하므로(다항함수)

f(x)-f'(x)인 g(x)도 미분가능하다.

g(x)가 미분가능하고, x=0일때 g(x)가 최솟값을 가지므로

g'(0)=0

g(x)=x³+(a-3)x²+(b-2a)x

g'(0)=b-2a=0

잘 정리해주면

f(x)=x³+ax²+2ax+2a

이때 g(x)는 x³+(a-3)x²=x²{x+(a-3)}≥0 (x≥-1일때)

x²≥0이므로 x≥-1일때 x+(a-3)≥0 이면 된다.

따라서 a≥4

f(x)=x³+ax²+2ax+2a

f(2)=10a+8

a≥4이므로 f(2)의 최소값은 48!!!!

자 여러분이 이 문제를 처음 풀었을 땐 못 풀었다고 가정해보겠습니다.

이렇게 풀이 익히면 당연히 같은 문제 계속 풀면 잘 풀리겠죠.

근데 이 문제를 처음본다고 가정했을 때 막힘없이 이런 풀이를 쓸 확신이 생기시나요?

그냥 문제 이렇게 풀이 알게되면 새로운 21번 문항 나오면 맞출 수 있을까요?

맨날 논리의 흐름을 익히려고,필연을 찾으려고 기출을 공부합니다 라고 얘기하면서 

저 풀이에서 논리의 필연이 뭔가요?라고 물어보면 뭐라고 답하실건가요?

논리적으로 푼다는건 어떤 의미일까요?

필연성을 찾는다는건 어떤 의미일까요?

다음의 풀이를 읽어보세요

음 물어보는게 f(2)의 최솟값이네 

f(x)라는 식을 구해서 2를 대입하거나 

f(2)라는 값 자체가 딱 나올 수도 있겠네 

음 근데 조건을 보니까 f(2)가 뜬금없이 딱 튀어나올 것 같지는 않구

f(x)에 대한 정보가 주어지겠네 

조건 (가)를 보니까 f(x)=x³+ax²+bx+c로 나타낼 수 있겠다

그럼 a,b,c의 관계 및 범위를 구하면

f(2)의 최솟값을 구할 수 있겠다.

그리고 조건 (나)를 이용해서 

f(x)=x³+ax²+bx+b 임을 알 수 있고

조건 (다)를 사용하면 a,b 사이의 관계 및 a의 범위를 알 수 있겠구나

f(x)≥f'(x) 로는 아무것도 얻을 수 없으니

한쪽으로 넘겨서 정리해보자 

f(x)-f'(x)≥0

f(x)-f'(x)=x³+(a-3)x²+(b-2a)x≥0 (x≥-1일때)

여기서 

x³+(a-3)x²+(b-2a)x≥0 (x≥-1일때)

라는 식을 보니까 특히하게 좌변은 0,0을 지나네

그런데 항상 0이상이네 어라! 그래프로 한번 살펴볼까?

이렇게 생각했다면 풀이 (1)로 연결되는 거구

 f(x)-f'(x)=g(x) 이렇게 두 함수를 빼서 새로운 함수를 정의하는건

기출에 많이 사용된 스킬?이기도 하고 새로운 함수를 정의하면

여러가지 성질을 이용할 수 있으니까 g(x)라는 함수를 정의하자

라고 생각했다면 위의  풀이 (2)로 연결이 되는거구요

필연성을 찾는다는건 곧 왜 이렇게 풀어야 되는지를 찾는다는 것이고 

즉, 문제에서 물어보는 것에서 거꾸로 찾아나가면 필연이 보인다고 할 수 있겠습니다.

문제에서 A를 물어보니까 -->음 그럼 B로 풀어야겠네 --> B를 구하려면 C를 찾아야겠네 

이런식으로 거꾸로 찾아나가면 자연스럽게 논리의 필연을 찾으실 수 있을거에요

3. 왜? / 피드백

이 왜? 라는 파트는 시험장에서 문제풀 때 말고, 공부할 때 어떤식으로 피드백하느냐에 대한 설명입니다.

2번 필연성 파트와도 겹치는 부분이 있습니다만 , 피드백의 중요성을 얘기하기 위해 별개로 나눴습니다.

자 위의 문제를 쭉 풀다가 갑자기 엉뚱한 풀이를 해서 시간을 날려먹었다던가, 

조건 (다)가 무엇을 알려주는지 몰라서 막혔다던가, f(x)가 삼차함수라는 조건을 놓쳤다던가

이런 부분이 나왔을 때 내가 왜 잘못풀었는지를 생각하고 , 앞으로 잘못풀지않으려면 어떻게 해야하는지

생각하고 어떤부분이 부족해서 조건 (다)를 해석못했는지 파악을 하고 피드백을 하셔야 합니다.

단순히 틀렸으니까 그냥 풀이보고 와~이렇게 푸는거구나 하고 감탄만 하면 안됩니다.

내가 왜 틀렸는지 왜 틀린 풀이로 풀이를 전개해 나갔는지 , 앞으로 내가 이렇게 풀지않으려면

어떻게 해야하는지 동시에 제대로 내가 문제를 풀려면 어떤 과정을 밟아야 했는지를 고민하셔야 합니다.

맞은 문제라도 내가 왜 이렇게 풀었는지 남들에게 설명할 수 있을 정도로 이건 이래서 이렇고 

저건 저래서 저렇다 라고 설명가능해야합니다.

+ 특히 경우의 수 , 확률 문제 같은 경우

틀린 풀이의 사고교정이 굉장히 중요합니다.

자기가 왜 틀렸는지 모르거든요 

틀린 풀이에 대한 피드백이 반드시 필요합니다.

미완의 칼럼이기때문에 여기서 일단 마무리 짓겠습니다.

수학에서 전하고 싶은 얘기중에서 

아직 못 전한 얘기들이 조금 있고

(위의 설명도 전부 다 쓴건 아니라서..) 

문제를 더 많이 가져왔어야 했는데,

일단 이정도면 당장 공부하는데 무리없으리라 봅니다.

1.

지금은 미적분1 1문제를 가지고 간단하게 설명했습니다만,

6평전까지 

미적1 - 추가1문제

수2 - 2문제

확통 - 2문제

기벡 - 2문제

미적2 -2문제

를 추가시키려 합니다.

추가 문항은 댓글로 원하시는 문제 추천해주시면 됩니다.

추천 받은 문항 중 설명에 용이한 문제들 뽑아 설명하겠습니다.

30번급 난이도의 문제는 칼럼을 쓰면 못알아먹는 분들이 대다수라서 

나중에 따로 모아 칼럼을 쓸 생각입니다.

2.

의지력 칼럼은 좋아요 30개 이상 받으면 확인 후 올리겠습니다.

칼럼 작성은 이미 완료하였습니다.