행렬진위문제
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'A2B2=(AB)2 이면 AB=BA 또는 AB=O이다' 는 참인가요 거짓인가요
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거짓입니다. 참이어야 할 하등의 이유가 없기 때문에 우선 의심부터 해보고, 반례는 짱돌을 굴려서 생각해보는 거죠.
이때 반례를 너무 일반적인 경우에서 찾으려고 하기보다, 주어진 조건을 반박할 수 있는 특수한 조건을 첨가해보고 그 조건을 실현시킬 수 있는 예가 있는지 고민해보는 것도 좋은 접근법입니다.
예를 들어 AB ≠ BA = O 이고 A² = O 인 예를 찾을 수 있다면 주어진 조건에 훌륭한 반례가 될 것입니다. 그리고 실제로
A = {{1, 1}, {1, 1}}
B = {{1, -1}, {1, -1}}
로 두면 A²B² = O 이고 (AB)² = O 이며 BA = O 이지만 AB ≠ O 임을 확인할 수 있습니다.
참이어야 할 하등의 이유가 없기 떄문에 틀렸다 는 논리는 앵간하면 통하고, 제가 알기론 평가원 문제는 다 그렇게 출제된거로 알고 있습니다만
진위판정은 반례로 푸는게 제 맛
뭐 사실 올바른 감만 있으면 주어진 명제가 참인지 거짓인지를 '찍는' 것은 어렵지 않지요.
그러한 추측이 빗나가는 괴악한 예는 몇 년 전에 처음이자 마지막으로 딱 한번 본 적이 있고, 당연히 고등학교 과정을 벗어났습니다...
어쨋든 실제 반례를 찾는 게 제맛이긴 한데, 사실 두 가지 타입의 반례 정도만 알아두면 거의 대부분의 문제는 두 타입 중 하나의 반례로 떨어지기 때문에...