(화학1)9평 20번과 분수꼴자료 개형 예측

이번 9월 평가원 화1 20번을 보면 대놓고 '모든 이온의 몰농도 합' 그래프의 개형을 제시하지 않았지만, 암기해 둔 상태로 사용하도록 출제하였습니다.(간단 풀이 : https://orbi.kr/00032189824) 

 a조건이 없었다면 의견이 갈렸겠지만, a조건을 보면 의도한 풀이는 그래프 개형이 확실하다는 것엔 이견이 없을것이라 생각합니다. '모든 이온의 몰농도 합', 즉 '단위 부피당 전체 이온 수' 자료는 이미 여러번 출제되었기 때문에 이 정도는 알고있으라는 평가원의 경고(또는 문제를 더 다듬기 귀찮았거나..)라고 받아들이는게 맞다고 봅니다. 이 문제에서 제시된 자료의 개형 예시로 2019수능 20번의 개형이 있습니다.

 화1의 역사를 보면 수능에서 뜬금없이 신유형이 출제된 적도 많은데, 6,9평에서 어느정도 예고를 하고 출제된 경우가 많았습니다. 작년 수능의 금속, 재작년 수능의 중화반응 문항이 해당됩니다.

 이번에 농도 자료를 그래프 없이 제시한 만큼, 더 복잡한 중화반응 문항이 그래프가 없이 제시될 가능성도 열렸으며, 예전처럼 유리함수 자료가 다시 그래프 없이 제시될 가능성도 열렸다고 봅니다. 따라서 유리함수 꼴 자료에 대해서 좀 깊게(다만, 과하지는 않게)알아둘 가치가 있다고 생각해서 이전에 배포했던 자료(https://orbi.kr/00031110060)에 있던 내용을 짤막하게 정리해서 올립니다.

 주제는 '화1 문항에서 분수꼴 자료(유리함수 자료)의 개형이 제시되지 않았을때, 대충 추론하는 방법'입니다. 

우리가 화학1에서 사용하게 될 유리함수의 특징은 다음과 같습니다.

세 성질 전부 다 대표적인 예시로 1/x를 생각하시면 됩니다. 1/x를 미분하면 -1/x^2입니다. 따라서 0을 제외한 모든 구간에서 감소합니다. 다만 0 근처에서는 무한으로 발산하고, 0에서 정의되지 않겠죠. 또한 점근선 0을 가집니다.

이건 기본상식으로 탑재한 채로 시작합시다. 이제 화1 기출 하나를 끌고와봅시다. 17수능 20번입니다.

우선 n생성물과 n반응물의 그래프 개형은 설명하지 않고 그림으로 대신하겠습니다.

문제를 풀고, 투입한 B의 몰수를 x라고 했을 때 x에 대한 n생성물/n반응물의 그래프를 그려보면 다음과 같은 형태가 나타납니다.

이제 이 개형을 직접 계산하지 않고 그리는 법을 알아봅시다.

f(x)=B를 x몰 투입 했을 때, n생성물/n반응물

이라고 정의합시다.

그러면 x=0일때, 생성물은 존재하지 않으므로 f(0)=0입니다.

반응 완결점을 T라고 합시다. x=T일때, 반응물은 존재하지 않으므로 정의되지 않고, 그래프는 무한으로 발산합니다.

마지막으로, x->∞ 일때, 생성물의 수에 비해 반응물의 수가 훨씬 더 크므로 그래프는 0으로 수렴합니다.

전혀 계산하지 않았음에도 대략적으로 그래프 개형이 예상 가능합니다. 판단 알고리즘을 일반화해서 정리하면 다음과 같습니다.

우선 오개념을 방지하기 위해 '특징점'을 새로 정의합니다.

즉 유리함수 개형을 예상하기에 앞서서 일차함수 개형을 먼저 예상해서, 첨점이 언제 생기는지 확인해야 한다는 것입니다. 다만 특이한 자료를 제시하지 않는 이상, 완결점과 중화점이 특징점이 됩니다. 쉽게 말해서 '꺾이는 점'이라고 할 수도 있겠습니다.

이제 유리함수 꼴 자료의 판단 방법을 소개해보면 다음과 같습니다.

즉 시작점, 특징점(대부분 완결점/중화점), 무한점의 값을 상상하고 이에 따라 값이 어떻게 변화할지 대충 점만 찍어서 확인하면 증감을 확실하게,수학적으로 확인할 수 있다는 것 입니다. 예를 들어 18수능 17번의 개형을 대충 예상하면 다음과 같습니다.

1. 시작점에선 C의 몰수가 0이므로 '전체기체의 몰수/C의 몰수'는 무한으로 발산합니다. 당연히 음의 무한으로 발산하지는 않습니다.

2. 완결점에서 저 값은 3이되어야 합니다. C와 D를 제외하고 아무것도 존재하지 않는데, D는 C의 두 배만큼 존재합니다.

3. 무한점에서 저 값은 무한이 되어야 합니다. C의 몰수는 고정인데 B를 계속 투입하면 무한으로 발산합니다.

이 세 정보를 가지고

시작점->완결점->무한점의 값이 각각 무한, 3, 무한이므로 완결점 전에 주어진 값은 감소, 완결점 이후에 주어진 값은 증가한다는 사실을 유추할 수 있습니다.

따라서 저 식에서 4가 똑같이 2번 나오려면 무조건 완결점 이전, 완결점 이후라는 사실을 논증할 수 있습니다.

양적관계에서의 마지막 예시로, 이번 6평 19번을 봅시다.

이미 개형이 주어졌으니 개형이 왜 저렇게 나오는지 논증 해 봅시다.

전체 기체의 밀도를 주었는데, 이것은 들어있는 기체의 평균분자량과 비례하는 값입니다.

1. 우선 시작점에선 A의 분자량과 일치해야합니다. A만 존재합니다.

2. 완결점에선 C의 분자량과 일치해야합니다. C만 존재하므로 당연합니다.

3. 무한점에선 B의 분자량으로 수렴해야 합니다. B가 매우 많고 C를 무시할 수 있으므로 당연합니다.

따라서 그래프는 A의분자량->C의분자량->B의분자량 형태로 이동하게 됩니다.

+)C의 분자량은 적어도 A보다는 크다는 것도 화학반응식을 보면 알 수 있습니다. 따라서 반응이 완결되기 전까지는 증가한다는 것도 자명히 알 수 있습니다.  다만 반응식만 보고 B의 분자량이 C보다 작은지는 알 수 없습니다.

++)또한 완결되기 전에 직선이 나오는 이유는 전체 기체의 부피가 변하지 않고, 투입한 B의 질량이 일정히 증가하므로 전체 기체의 밀도는 일차함수가 되어야 한다는 사실도 알 수 있습니다.

따라서 저런 개형이 나오고, B의 분자량이 0.8보다 작고 저 그래프는 B의 분자량에 비례하는 값으로 수렴할 것임을 예상할 수 있습니다.

이 관점에서 2020수능 18번을 봅시다.

1. 그래프의 시작점에서 어떤 용액도 첨가하지 않았으므로 단위 부피당 전체 이온수는 HCl의 농도의 두배와 일치합니다.

2. 5mL투입시점에서 투입하는 용액을 바꾸었으므로 첨점이 생기고, 특징점이 됩니다. -> 정정합니다. 결론적으론 첨점이 생기지 않는데, 넣는 용액이 바뀌더라도 모든 이온의 개수가 여전히 일정하기 때문에 첨점이 생기진 않습니다. 모든 이온의 개수를 제외한 나머지 변수들은 다 첨점을 가집니다.

3. 10mL투입시점 이후로 용액의 농도가 일정합니다. 즉 무한점에서도 단위 부피당 전체 이온수가 일정합니다. 무한점은 KOH를 무한히 넣은 시점입니다. KOH가 무한하다면 나머지 용액들은 무시할 수 있으므로, 무한점에서의 값은 KOH의 농도의 두배와 일치합니다. 즉 저 일정한 값이 KOH의 농도의 두배와 일치하게 됩니다.

이제 이번 6평 20번의 개형을 한번 예측 해 봅시다.

if 1가산

1. 시작점에선 순수한 NaOH의 모든 이온의 몰 농도 합과 일치합니다.

2. 중화점까지 이동하면서 이온의 총 수는 그대로인데 부피는 증가합니다. 따라서 중화점까지 모든 이온의 몰농도 합은 감소하게 됩니다. 

2-1. 중화점에서의 모든 이온의 몰 농도의 합은 순수한 NaOH의 모든 이온의 몰농도 합과, 순수한 HA의 모든 이온의 몰농도 합보다 작습니다. HA입장에서 NaOH가 첨가되었다고 역발상하면 자명합니다.

3. 무한점에서는 순수한 HA의 모든 이온의 몰 농도 합으로 수렴해야합니다.

따라서 감소 후 증가합니다. 증감이 바뀌는 지점은 당연히 중화점입니다.

if 2가산

1. 시작점에선 순수한 NaOH의 모든 이온의 몰 농도 합과 일치합니다.

2. 중화점까지 이동하면서 이온의 총 수는 감소하고, 부피도 증가하므로 중화점까지 모든 이온의 몰농도 합은 감소합니다.

2-1.  중화점에서의 모든 이온의 몰 농도의 합은 순수한 NaOH의 모든 이온의 몰농도 합과, 순수한 H2B의 모든 이온의 몰농도 합보다 작습니다. 마찬가지로 H2B입장에서 NaOH가 첨가되었다고 역발상하면 자명합니다.

3. 무한점에서는 순수한 H2B의 모든 이온의 몰 농도 합으로 수렴해야합니다.

마찬가지로 감소 후 증가합니다. 증감이 바뀌는 지점도 중화점입니다.

물론 이번 9평 20번의 개형은 이런 논증을 통해 얻는게 아니라 암기사항입니다. 다만 여러 용액을 섞는 경우, 이런식으로 생각하면 꽤 도움이 될 수 있으니 참고하시길 바랍니다.

마지막으로, 화1 뿐만 아니라 수학이나 물리1,2문항도 함께 보았을 때 이번 9평은 개정교육과정인만큼 새로웠습니다. 혹자에겐 '평가원이 평가원스럽지 않다'고 보일 수 있겠습니다. 하지만 평가원은 줄어드는 교육과정 속에서 신유형을 출제해야 합니다. 거기에다 평가원의 뒤를 따라가는 사설 문제와 출제 주제가 겹치지 않게 출제해야 하는데, 문항의 퀄리티도 좋아야 합니다. 이러면 어쩔 수 없이 점점 지엽적이거나 발상적인 문제가 출제되는 것은 어쩔수 없는 현상입니다. 항상 수능은 어렵게 준비합시다.