[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법

개념을
통해 무엇을 배워야 할까? 

안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다. 
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.

'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.

그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’ 

1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
 문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)

 가령,
등차수열
{an}의
일반항이
  
an=a1+(n-1)d 
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.

 하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.

등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.

물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,

  
3, 5, 7, 9, 11, …

과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면

   3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…

과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
   ∴ a100= 3+2·99

2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
 사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.

이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.

 그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..

2011학년도
수능 (오답률
50%) 
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점] 

 

Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)

n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면

  
1, 3, 5, 7

인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?

 그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉, 

  
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3

이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면

  
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)

공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면

  
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)

이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.

  
∴ f(m)=2m-3

따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.

  
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102


 문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다. 
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.

이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다! 

                      ~ 읽어주셔서 감사합니다 ~