라이프니츠의 위엄 #다이어그램
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00057535903
0. 라이프니츠의 위엄
유튜브에서 '이게 바로 라이프니츠의 위엄이죠' 영상을 봤습니다.
저도 떠오르는 게 있어서 주저리주저리 라이프니츠 썰을 풀어봅니다.
1. 정언문장
모든 S는 P이다
어떤 S도 P가 아니다(=모든 S는 P가 아니다)
어떤 S는 P이다
어떤 S는 P가 아니다
위와 같은 문장을 논리학에서는 정언문장(categorical proposition)이라고 합니다. 쉽게 말해, 두 카테고리 간의 관계를 나타내는 문장이라고 생각하면 됩니다. 수학 집합과 명제 시간에 배워서 다들 익숙할 겁니다.
2. 라이프니츠 다이어그램
라이프니츠는 정언문장을 다음과 같이 선형 diagram으로 나타냈습니다. 따로 설명이 필요하지 않을 만큼 직관적입니다.
예를 들어, “모든 S는 M이다.”, “모든 M은 P이다.”는 아래 그림처럼 표현됩니다. 이때 결론 “모든 S는 P이다.”가 타당하게 도출됨을 직관적으로 파악할 수 있죠.
3. 오일러 다이어그램
오일러는 원으로 정언문장을 나타냅니다.
예를 들어, “모든 S는 M이다.”, “모든 M은 P이다.”는 다음 그림처럼 표현됩니다. 이때 결론 “모든 S는 P이다.”가 타당하게 도출됨을 직관적으로 파악할 수 있죠.
4. 벤 다이어그램
벤은 오일러 다이어그램을 개량합니다. 아무것도 없는 부분에는 빗금을, 대상이 존재하는 곳에는 x를 표시하는 방식입니다.
예를 들어, “모든 S는 M이다.”, “모든 M은 P이다.”는 다음 그림처럼 표현됩니다. 이때 결론 “모든 S는 P이다.”가 타당하게 도출됨을 직관적으로 파악할 수 있죠.
5. 루이스 캐럴의 다이어그램
벤 다이어그램은 집합이 넷인 경우에는 원으로 나타낼 수가 없습니다.
위와 같이 그리면 ‘A와 D만 있는 영역’과 ‘B와 C만 있는 영역’을 나타낼 수 없습니다.
참고로 벤이 제시한 집합이 4개일 때의 다이어그램은 아래와 같습니다.
이거 말고 아래처럼 꿀렁꿀렁한 버전도 제시하긴 했습니다.
_이미지 출처: Venn, J. (1880). On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings. London, Edinburgh, and Dublin philosophical magazine and journal of science. R. Taylor.
이외에도 벤은 집합이 다섯, 여섯인 경우까지도 어떻게든(혹은 억지로) 그림을 그려내긴 했는데, 일곱 개부터는 따로 언급이 없습니다. 실제로 컴퓨터 없이 그려내기가 몹시 어렵고, 추상화 같은 벤 다이어그램이라서 실용적으로 활용하기도 어렵습니다.
이런 문제점을 해결하기 위해 루이스 캐럴은 아래와 같이 사각형으로 나타내는 방법을 고안합니다.
(참고로 여기서 루이스 캐럴은 『이상한 나라의 앨리스』, 『거울 나라의 앨리스』 저자이기도 합니다. 작가이기 전에 수학자이기도 했으며, 『Symbolic Logic』을 쓰기도 했어요.)
사각형의 위쪽은 X, 아래쪽은 ~X, 왼쪽은 Y, 오른쪽은 ~Y를 할당하는 거죠. 그러면 아래와 같이 영역이 나뉩니다. (∧는 and, ~은 not을 뜻함.)
셋일 때는? 안쪽에 사각형을 하나 더 만들어서, 사각형 안에 있으면 Z, 밖에 있으면 ~Z를 할당합니다.
예를 들어, 질병관리청에서 제시한 <중독 분류도>는 캐럴의 사각형을 활용했습니다.
_출처: https://www.kdca.go.kr/contents.es?mid=a20308060100
이런 식으로 나타내면 카테고리가 더 많은 경우도 다음과 같이 체계적으로 나타낼 수 있습니다.
_그림출처: Carroll, Lewis (1896). Symbolic Logic. Macmillan.
6. 파그난의 SYLL
2012년에 발표된 따끈따끈한 다이어그램입니다. 키보드에서 완전히 구현가능합니다.
모든 S는 P이다
S→P
어떤 S도 P가 아니다
S→•←P
어떤 S는 P이다
S←•→P
어떤 S는 P가 아니다
S←•→•←P
직관적으로 화살표 방향으로만 이동할 수 있을 것 같죠? 맞습니다. 예를 들어, “모든 S는 M이다.”, “모든 M은 P이다.”는 S→M, M→P이며, 이를 연결하면 S→M→P입니다. S에서 출발하여 P에 도착했으니 결론 “모든 S는 P이다.”가 타당하게 도출됩니다.
다음과 같은 규칙도 직관적으로 받아들일 수 있습니다.
대우규칙: 어떤 S도 P가 아니다(S→•←P) ≡ 어떤 P도 S가 아니다(P→•←S)
교환법칙: 어떤 S는 P이다(S←•→P) ≡ 어떤 P는 S이다(P←•→S)
그러면 연습을 해볼까요? (직관적으로 “이게 되나?” 싶은 추론들은 다 성립합니다. ㅎㅎ)
1. 모든 A는 B이다. 어떤 A는 C이다. 따라서 ____
A→B, A←•→C를 연결하면 B←A←•→C이고, 이는 B←•→C로 간결하게 나타낼 수 있습니다. 따라서 정답은 “어떤 C는 B이다.”입니다.
2. 어떤 A도 B가 아니다. 어떤 A는 C이다. 따라서 ____
A→•←B, A←•→C를 연결하면 C←•→A→•←B이고, 이는 C←•→•←B으로 간결하게 나타낼 수 있습니다. 따라서 정답은 어떤 “C는 B가 아니다.”입니다.
3. 모든 A는 B이다. 어떤 B도 C가 아니다. 따라서 ____
A→B, B→•←C를 연결하면 A→B→•←C이고, 이는 A→•←C로 간결하게 나타낼 수 있습니다. 따라서 정답은 “어떤 A도 C가 아니다.”입니다.
덧: * SYLL은 syllogisms(삼단논법)에서 가져온 용어입니다. 관련 논문은 다음과 같습니다.
Pagnan, R. (2013). A diagrammatic calculus of syllogisms. In Visual Reasoning with Diagrams (pp. 33-53). Birkhäuser, Basel.
7. 라이프니츠의 위엄
오일러 다이어그램이나 벤 다이어그램은 시각장애인이 점자로 인식하기에는 다소 어려운 구조라고 합니다. 그래서 2015년 서울대학교 산업공학과 삶향상기술연구실(박우진 교수)에서 시각장애인을 위한 다이어그램을 개발했는데, 다음과 같습니다.
이렇게 하면 두 집합이 겹치는 부분이 어느 정도인지 점자로도 쉽게 확인할 수 있다고 해요. 뭔가 앞에서 봤던 것과 비슷하죠? 네, 라이프니츠 다이어그램과 핵심 발상이 똑같습니다. 박우진 교수님 연구실에서 라이프니츠 다이어그램을 알고 만들었는지는 잘 모르겠지만, 라이프니츠가 참 대단한 사람이라는 생각이 들긴 합니다. 이 역시 라이프니츠의 위엄이랄까요. ㅎㅎ
8. 잡담
2019학년도 수능에 나온 '가능세계' 다들 알죠? 라이프니츠가 “이 세계는 무한하게 많은 가능세계 중 최선의 세계이다”라고 말한 데서 출발한 개념입니다.
또한 수능국어/PSAT/LEET 준비하는 분들은 '라이프니츠의 법칙'도 이미 알고 있을 겁니다.
"라이프니츠는 만일 X와 Y가 동일하다면 이들이 똑같은 특성을 갖는다는 ‘동일자 식별 불가능성 원리’를 제시했는데"
_출처: 2022학년도 수능 예시문항 국어 5~10번
"두 대상이 모든 속성을 공유할 경우 그리고 오직 그때에만 그 두 대상은 동일하다"라는 라이프니츠의 법칙"
_출처: 2010학년도 언어추론(예비) 25~27번
만약 예시문항을 분석하지 않아서 이 내용을 지금 처음 본 수험생이 있다면, 아래 영상을 꼭 보길 바랍니다. 3분 정도면 출제 포인트를 하나 정리할 수 있습니다. :)
필요충분조건 표현법 #라이프니츠의 법칙
https://class.orbi.kr/course/1888/lesson/40685
이해황
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
드릴 4규 문해전 이해원 풀건데 다른거 또 뭐 풀지 추천 좀 해줭 (난이도 잇는걸루)
-
글고 kbs할때 수특도 사야하는건가요?
-
400만덕만 주세요
-
굳이 뉴런할필요 없죠?
-
쥴리 개이쁘다 6
ㄹㅇ
-
현우진 쌤 드릴4에서도 극한상쇄 활용해서 풀이 진행하시지 않았었나요..?? 기억이...
-
01년생 교사 3
인지 부조화온다
-
하아 공부해야하나...
-
내 다음 여친은 0
나랑 음악 취향 맞았으면 좋겠다 정 안 되면 취미라도.. 많이 안 바라고 독서랑 영화 좋아하는 사람
-
작년 스피드러너 시즌3 3회 9모 반영된건가요? 난이도 어땠나요?
-
읽는데 갑자기 깜빡이도 안키고 자연스럽게 장례 중 부활한다길래 바로 이 짤 생각나버림 ㅋㅋ
-
ㅜ 0
3등급 뚫는게 왤캐 힘든가요 삼수하는데 2등급도 못받으면 나 진짜 한국 떠야되는거...
-
ㅠㅠ
-
할 말이 있어야 싸재끼지 할 말이 없어요
-
효과 있름??
-
새벽에 치킨시켜주고 같이 epl 보고싶다 낭만이다 ㄹㅇ
-
와아 뉴비탈출이다 10
저도 드디어 은테를 늅이는 감격스러운 거시와요
-
궁금해요 성격,외적모습이 아닌 다른부분에서 어느정도 하자있어도 관심있나요
-
왜 오박사가 아닌 마박사 레어를 만들었을까,,,,
-
수학 과목 선택에 조금이나마 도움될까 싶어 미적 확통 기하 세개 과목에 대한...
-
123456 7
12시 34분
-
아무리해도 속발음이 되는데 지금 이거 쓰면서도 하고 있는데?
-
기습 게임인증 5
풀콤 성공함
-
new rare 3
dududoogjang
-
지금 미적에서 확통으로 돌리는 거 어떻게 생각하시나요? 2
에반가요..? 확통 한 번도 안 해봤어요
-
이벤트 엽니다 ^^ 시간은 00시40분 이전까지 가능 (10분 허용범위 ㅇㅋ) 좀...
-
대학교 학비 생활비를 해줄 사람이 없는데요. 부모님이 없는건 아니고 20살부터는...
-
다들 월요일 한주시작 화이팅해염
-
선넘질 받음 8
사실 한번도 안해봐서 걍 함 해봄 누가 질문 달아줄진 모르겠지만 그래도 한개는 달리겠지?
-
콜록콜록
-
자러갈게~ 5
잘자...! 꿈나라 선착 1명 데이트할 기회 준다
-
정시로 의대 준비하는 사람들한텐 긍정적인 것임 ??
-
여기서 참 많은 일들이 있었다
-
아 배불러 5
너무 많이 먹었어
-
정시파이터 전환 6
안녕하세요 현재 경기도 평반고 다니는 고2입니다... 1학년 내신 3.8로...
-
정석민 쌤 모고 해설강의보고 지려버리고 커리탈라는데 문개정 재끼고 문기정으로...
-
23학년도 수능친 허수 다음주에 입대해서 올해랑 내년 수능칠라는데 질문 몇 개만...
-
❤️여캐일러투척❤️ 11
귀여운 여캐들이 한곳에 모였어요
-
미적 vs 기하 2
마지막 수능 미적분 응시는 21수능이고요 22수능은 안보고 23수능은 미적하기...
-
가요이를 좋아하던 그분..
-
가정) 화생 x 본인이 할 과탐 선택은? 지1물2는 제외 물2지2는 <<<< 애는 좀
-
최솟값은 구했는데 최댓값을 어떻게 할지 모르겠네여;;
-
무쌩겨서 울어써 2
우어어ㅓ
-
이제 남은 기출은 독학으로 다때워야 되네 역에보 다 안끝났는데 조졌네
-
. 0
아이스크림 하나 먹어야지 까먹고 있었구먼
파그난의 방식은 좀 어렵네요.
킹갓해황쌤
이것이 바로 라이프니츠의 위엄이죠
이것이 바로 실력파쌤의 위엄
실력파임을 강조하기 위해 본문하단에 제 얼굴사진을 방금 넣었습니다.
찰스 도지슨 A.K.A 루이스 캐럴
뭐라는거죠?
오..
이..이게뭐노..
해황쌤 리트 준비생인데 혹시 오르비클래스에 리기추 강의 업로드 일정계획이 어떻게 되실까요?? 막판에 3개년 기출 정리하고 시험장 들어가려고 하는데 21년도와 22년도는 각각 2지문씩밖에 업로드가 안되어 있어 근 1-2주 내로 추가 업로드 계획이 있으신지 궁금합니다 ㅠㅠ
감사합니다!