221130(미적)을 풀어보자
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함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고, 증가함수이므로 f(1)=g(1)=1이 성립합니다.
(나)에 주어진 식에 x=1을 대입하면 g(2)=2f(1)=2이고, f(2)=2가 성립합니다.
마찬가지로 x=2를 대입하면 g(4)=2f(2)=4이고, f(4)=4가 성립합니다.
x=4를 대입하면 g(8)=2f(4)=8이고, f(8)=8이 성립합니다.
이제 적분값을 구할 차례입니다.
부분적분을 이해한다면 이 정도는 바로 도출할 수 있습니다. f(8)=8이고 f(1)=1이니 앞의 값이 63이라는 건 쉽게 알 수 있고, 뒤의 정적분값을 구해야 합니다.
일단 이렇게 나누어서 생각해 봅시다.
일단 첫 번째 값은 5/4라고 문제에서 제시해 주었습니다. 두 번째 값을 구합시다.
위의 그림을 보면 알 수 있듯이,
가 성립하므로
입니다.
인데, x/2=t로 치환하면 dx/2=dt이고,
입니다. 그러므로
입니다.
마지막으로 세 번째 값을 구해야 합니다.
아까랑 똑같은 방식으로 접근하시면 됩니다.
위의 그림에서
이 성립하므로
인데, 아까와 마찬가지로 x/2=t로 치환하면 dx/2=dt이고,
이므로
입니다.
따라서 구하는 값은...
이고, p+q=143입니다.
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