0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00062600708
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
어처피 지방에 살거기도히고 25만원으로 오르기도했고... 차라리 그냥 적립식으로...
-
아니면그전에죽게될까
-
음원차트도 높네.. 왜지 노래는 좋긴하던데
-
수능 한번 더쳐도 기존이랑 똑같이 졸업함
-
만족을 위한 입시인가 성공이 만족인가? 만약 그렇다면 성공만 하면 모두 만족할 수...
-
제곧내
-
으으
-
자꾸 저를 현혹시키지마셈
-
속이시원하네 1
ㅋㅋㅋ
-
[속보]정부 “의대생 휴학 조건부 승인…교육과정 6년을 5년으로 탄력운용 검토” 7
의대생 ‘동맹휴학 불허’ 방침은 유지…내년에도 복귀 안 하면 유급·제적 서울대...
-
수탐을 하다보니 0
국어 칼럼이 쓰고싶구나...
-
국어, 수학, 영어 경찰대 4개년 기출 정답 포함해서 깔끔하게 편집했습니다. 경찰대...
-
아랫사람이 저렇게 말할 수도 있는거 아님?
-
작년에 이훈식 풀커리 타긴했지만 전 오지훈에 한표
-
당신이 시켯으면서.
-
메가패스 0
지금19인데 여기서 가격 더 안떨어지나요??
-
차단하는법알려조 3
ㅈㄱㄴ
-
물1은 왜이래요 고전역학 으으
-
나도 시작이라도 좀 하고 싶어요
-
실모양이 모자라서 사려하는데 해설강의 없이 풀만한가요??
-
생일 축하해
-
내가 드래곤 만나고 올게 그냥 그게 빠르겠다
-
xx모의고사xx점 보기싫다 어쩌구... 하는 글 아디감??
-
중앙대 4
앙
-
N수생 혹은 N수 경험이 있는 분들께 조언 구합니다. 16
현역 시절, N수를 하는 과정 속 가장 후회가 되는 점이 있다면 알려주세요. 조언을...
-
점수얘긴 아니고 그냥 문제 느낌이 맘에 드네여 막힐 때도 사설 특유의 뭐어쩌라고...
-
1회차 미적 11번 틀리고 76점인데 그냥 살자해야될까요?
-
항공대 수리논술 0
항공다 수리논술 준비하시는 분들 수학 모의고사 등급이 어느정도 되시나여??
-
물2는 최악의 선택이다 14
물1이 재미없어지게 되기 때문에
-
얼버기 0
ㅎㅇ
-
탐구선택 5
원래 자퇴할때는 화1생1이었는데 생1 핵형분린가 뭐시기 하다가 이해안돼서 물1으로...
-
현역수능/재수9모인데 유의미한성적상승이라보심?
-
우영호 파이널 모고 살건데 강의 없어도 될까요
-
시대북스 수학 실모는 인강컨보다 싸던데 탐구 실모는 인강컨은 회차당 4~5천원이면...
-
현장 응시했던 문제를 기출 문제집에서 마주쳤을때
-
작년까지 과탐이었다가 올해 경제 사문으로 틀었어요 사문은 개념+검더텅까지 끝내고...
-
헤겔 다시푸는데 0
이명학쌤 잘푸실듯 Paraphrasing 범벅
-
올해 한해에만 상황이 계속 바껴서 ㅋㅋㅋ 나도 반응좀 살펴보고싶어서 오랜만에...
-
히카스럽지않게쉽네 ㅋㅋ 했는데 아니나다를까 1421을 벅벅틀려
-
오늘 하니 생일이네 14
-
항상 짜릿해..♡ 17
대치에서 오르비를 한다는 건..
-
품사는 단어를 분류한 것이고, 조사는 단어의 지위를 가집니다. 정답인 3번선지를...
-
‘마감’이란 단어는 순우리말이라는 사실 알고 계셨나요? 4
단어적인 뉘앙스가 뭔가 한자 같지만 ‘막-’ + ‘-암’이라고 하네요
-
여긴 ##시티 13
-
쌈뽕함
-
추천좀..
-
제곧내 그리고 현강 뭐나가고있는지 궁금한데 찾아봐도 안나오네요..,어떻게 찾아야하는건지
-
1. 대충 글 내용은 사과가 맛있다는 내용인데 '사과는 빨간색이다' <– 이렇게...
-
뭐가낫나요
-
재부팅 완료 4
으하하
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿