칼럼) 수능 수학 풀이 최적화 본편
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00063773396
이 글을 쓰게 된 Motivation과 최적화 연습을 하기 전 여러분이 가져야 할 마음가짐에 대한 것은 위에 예고편 링크를 첨부하였으니 참고 부탁드립니다.
사실 이 글은 제목은 뭔가 그럴듯해 보이지만 그냥 제가 수능 수학 문제를 받아들이고 풀어내는 방식을 설명하는 것과 다를 바가 없습니다. 어그로 끌려고 이름을 저렇게 지었습니다.
0. 풀이 최적화의 원칙
"풀이 최적화"라는 것을 하기 위해서는 다음 원칙들을 지켜주셔야 합니다.
0) 자기 객관화
제가 예고편에서 말했듯이 이걸 할려면 피지컬과 수학적 센스가 받쳐줘야 합니다. 물론 천부적인 센스가 필요한 것은 아니고 제가 설명하는 거 못 알아듣겠으면 그냥 보시다가 뒤로 가기 누르고 양치기 하러 가시면 됩니다.
1) 풀이는 손이 아닌 머리로 하는 것
예고편에서도 이야기 했지만 준킬러급 문제들부터는 보자마자 들이받는 습관 고치세요. 물론 조건을 보고 그에 대한 간단한 팩트를 옆에 적어놓는 것은 괜찮지만 풀이로 들어가버리면 막혔을 때 제대로 막혀버릴 가능성이 큽니다.
특히 케이스 분류를 할 필요가 없는 문제에서 노가다로 푸시는 분들 주의해주세요.
2) 조건으로부터 파생되는 논리적인 사고 과정
수능 수학은 수학 개념을 활용한 퍼즐입니다. 퍼즐을 다 대입하는 사람이 있고 넓은 시야를 가지고 금방 맞추는 사람이 있듯 주어진 조건으로 답을 도출해내는 과정이 사람에 따라 다릅니다. 조건(발문) 해석을 정확히 하고 그것을 잘 표현하기만 해도 풀이를 많이 줄일 수 있습니다.
3) 수학적 개념을 활용한 풀이 도구의 확보
수능은 수학이 아니기 때문에 논리적 사고에 더하여 계산량을 줄여줄 풀이 스킬들이 존재합니다. 대표적으로 삼차함수 비율 관계가 이것에 해당합니다. 흔히 실전 개념이라고 하는 단계의 강의를 수강한 수준 정도는 되어야 최적화가 가능할 것 같습니다. 아래에서도 삼차함수의 변곡점과 평균값 정리라는 것을 모르면 풀이가 좀 산으로 가는 경향이 많이 보입니다. 당연히 알기만 하면 안 되고 이러한 것들은 문제에 적용하는 힘을 기르는 "풀이 연구"를 좀 하셔야 합니다.
1. 조건 해석과 풀이의 전개
조건을 보고 내가 아는 수학적 개념을 활용하여 이해하기 쉬운 언어로 변환하는 과정이 필요합니다. 또는 그 조건으로부터 파생되는 조건들이 있는데 그것까지 문제에 손을 대기 전에 살펴보는 것이 좋습니다.
Ex) 2023학년도 대학수학능력시험 수학 영역 22번
이 문항에서 조건을 정리하면,
1) f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수
2) g(x)는 연속함수
3) f'(g(x))는 f(x)의 평균변화율
4) g(x) 치역의 원소는 5/2 이상
5) 함숫값
그냥 값들은 최종적으로 계산을 할 때 활용이 될 확률이 높으며, 문제 풀이의 전개는 보통 식 (주로 항등식)으로부터 시작할 확률이 높습니다.
수능에서는 모든 조건을 다 사용하려고 노력해야 합니다. 즉, 조건을 어떻게 사용할지에 대한 고민이 선행되어야 하며 굉장히 중요합니다.
삼차함수 조건은 단순히 삼차함수 깔아놓고 미지수 찾으라는 게 아니라 성질을 충분히 활용할 대비를 하고 있어야 하며, 연속함수 조건 같은 것도 괜히 주는 게 아니라는 점을 좀 의식하셨으면 좋겠습니다. 즉, 연속의 정의나 연속함수의 성질 (사잇값 정리의 성립) 등을 이용할 여지를 열어둬야 합니다.
사실 너무나 당연한 말이지만, 수학 교과서에 등장하는 정의와 정리는 모두 외우고 있어야 하며 필요할 때 떠올릴 수 있어야 합니다.
조건에 따른 풀이 전개는 다음과 같습니다.
1) f(x)가 삼차함수이므로 도함수 f'(x)는 연속이며, g(x)가 연속이므로 연속함수 둘의 합성인 f'(g(x)) 역시 연속함수이다. 연속의 정의를 이용하면,
2) g(x)라는 함수는 f(x)에 대하여 평균값 정리를 만족시킨다. (접선이 아닌) 일반적인 케이스에서 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 2개인데, g(x)는 연속함수이며 삼차함수는 변곡점에서 기울기가 최소이므로 이 문제에서 g(x)가 변곡점 x 좌표 값을 가질 수가 없다. 즉, 변곡점을 기준으로 왼쪽에만 또는 오른쪽에만 위치해야 한다. (왔다 갔다 할 수 없다는 의미이다.)
같은 맥락에서 변곡점의 x 좌표는 1보다 크다. g(x)가 1보다 항상 큰데, 변곡점의 x 좌표가 1보다 작을 경우에 항등식 (가)를 만족시키는 g(x)가 1보다 작은 경우가 필연적으로 존재하기 때문이다. (접선을 생각하자)
1이 변곡점 x 좌표보다 작기 때문에 이제 g(x)는 변곡점 x 좌표보다 크다고 생각하면 된다.
3) f'(x)가 이차함수이고, g(x)가 연속함수이며 최솟값으로 변곡점 x 좌표보다 큰 5/2를 가지므로 (항상 f'(x)의 축보다 오른쪽에 있으므로), 이제 f'(g(x))는 g(x)와 증가 감소 경향이 같다고 할 수 있다. 즉, g(x)가 증가하면 f'(g(x))가 증가하며, g(x)가 최소일 때 f'(g(x))가 최소이다.
4) 평균 변화율의 최소는 점 (1, f(1))에서 그은 x=1이 아닌 곳에 접하는 접선의 기울기이다. 여담으로 이건 이 문제뿐만 아니라 그냥 일반화가 가능하니 알아두면 좋다. (그래서 기출로 이런 생각들을 하면서 공부하라는 거다.)
5) 3번과 4번을 조합하면, f(x)의 x=5/2에서의 접선이 (1, f(1))을 지남을 알 수 있다.
6) 마무리 계산은 삼차함수를 미지수 놓고 주어진 값 또는 풀이 전개에서 나온 값(1번과 5번)들을 이용해 계산하면 된다.
사실상 풀이 전개에서 대부분은 사고, 즉 머리 속에서 처리가 되어야 하고 무작정 써내려가는 것은 좋지 않습니다. 이 문제도 허수 풀이를 보면 1의 위치를 나누고 그려서 보는 사람도 있던데 그런 짓 하면 세월아 네월아 풀면서 문제 조건을 누락한 생각을 하기 십상입니다.
다만, 처음부터 끝까지 사고 과정이 정돈된 풀이처럼 정렬되어 있어야 하는 것은 아니고, 각각의 조건에 대하여 우선 생각을 해보고 특정 조건은 다른 조건을 이용하여 해석해야겠다 (단독으로 해석이 어려운 경우 => 위 문항의 나 조건 같은 것) 싶으면 다른 조건으로 회귀해도 됩니다.
나온 조건들을 보고 이 조건들을 어떻게 사용하는 것이 좋을지 먼저 생각하고, 여백을 사용하는 것은 그래프를 그리거나 수열의 항을 나열하는 등 시각적으로 사고를 돕는 것과 계산 뿐입니다.
물론 계산만으로 밀고 나가는 4점 문항들도 없잖아 있지만, 그것을 판단하는 것조차 이런 실력을 갖춰야 시험장에서 더 순조롭게 됩니다.
가장 중요한 것은 수능 수학은 조건을 다 사용하여 풀어내는 퍼즐이라는 점 기억해주시길 바랍니다.
0 XDK (+2,000)
-
1,000
-
500
-
500
-
기출정식 검색해보니 고1영어와 고2영어밖에 없던데요 5
알라딘에서 검색해보니 저 두권이 나오던데요 저게 맞나요???
-
지금 와서 역으로 민폐이미지 씌울려고 지랄하는거 진짜 역겹네
-
루트2 아님?
-
제발 ㅅㅂ 이거까지틀리면걍혀깨물고자살함
-
어렵네요이 3
일단 22 28 29 못 풂ㅋㅋ
-
공통보다 어려운 적은 처음이야 내가 공통을 잘하게 된 건가 28부터 찍음
-
생각보다 못봄..
-
학점 부모님한테 알려드렸는대 B는 학교 다니기만 해도 나온다 그러시는대 저과목 밤새서 공부함 ㅠㅠ
-
3에서 최소라는 조건을 어케 써야할지 모르겠음..
-
옆에 아줌마랑 어디가는길이에요 대학생이신가요 이러길래 바로튐 ㅁㅌㅊ?
-
수학 개조졌네 0
분명 풀 때는 21 22 빼고 다 풀었는데 15 20 21 22 28 29 30...
-
하 ㅅㅂ
-
답인줄 알았는데... 이걸
-
ㅅㅂ 뭐지
-
좀 살살해라 살살
-
아니 12번 12
진짜 답 머임 수학
-
큰일났다 영어 4
너무 보기싫은데
-
喝!!! 3
올만의피의공부머신.
-
4 16 7 맞나용? 미적입니답
-
나라사랑통장에 4만원정도 돈이 들어있던데 입금한적이 없거든요..? 이 돈이 왜 있는걸까요,,
-
7덮 수학 0
12,14,21,22,28,29 틀 76 확통인데 몇등급 예상하시나요..
-
재수하고 24 6모에 강민철 강기본 +강기분 듣고 (수특연계 시간없어서 대비못함)...
-
더프마다 유출은 거의 무조건 나오네
-
24명이 보는 내신시험에서 1등 동점자가 3명인경우 2
세계지리 내신을 하는데 23명이 응시자로 1등급 한명 2등급 한명 3등급 2명 밖에...
-
진짜60층가겠는데
-
수학 84인데 잘한건가여? (미적)
-
ㅈㄱㄴ
-
뭐야유출이였음? 0
개꿀 좆망해도유출시치때매컷이런거다로 합리화가능
-
아 ㅋㅋ 독서 -10 문학 -13 화작 -2 설홍전 다 틀림 레전드 사건 발생
-
항상 날 불안하게 만들고 찝찝하게 만드는 개수세기 문제... 몇개 나오셨나요 다들...!?
-
첫째항 몇 나옴??
-
x=2^n 이 보이면 금방 클리어합니다 많이 풀면 다 보여요
-
공통 14번<<선지보고 196/5로 찍었으면 갵우 ㅋㅋ 7
일단 나부터
-
시간 모자라서 현대시 ㄹㅇ거의다찍은적 첨인데 ㅅㅂ 하..
-
수학이레전드커리어로우인듯 보정백분위 80이하는안뜨겠지 근데국어는까봐야암ㄹㅇ..
-
아니 0
시험으로 충격 받는 거는 6평으로도 이미 족하다고 … 더프야…
-
공통22빼고 다품 근데 282930못품 운지
-
27번진짜미친놈들인가 미적도아니고통통이한테이런짓을 작수에서미적이가27번본마음이이런건가싶음
-
흠
-
편입 생각중이면 0
휴학 안하는쪽이 더 나을까?? 1학년이고 지거국 공대에서 인서울 공대 생각중
-
공통에서 12점 까였는데 언매 5개 틀림
-
수학 공통 4,13,18,21,22 선택 282930 틀린듯 7
확통 2627답 아는분
-
응시 안했거든
-
진짜 23수능 이상급같은데
-
메인가고싶어
-
7덮 4번틀렸다..ㄹㅈㄷ.ㅜㅜ 15번 21번 답 먼가요 4
실수 진짜 죽여버리고싶네
-
더프안봐서 소외감느껴서 안되겠음ㅠㅠ
-
아오...
-
고등학교 입학 당시에 목표가 1.2x~1.3x였어서 높았던 목표에 비하면 터무니없이...
맞말
처음에 보고 이해가 안 돼서 포기할까 싶다가 방금 이해했는데 머리가 뚫리는 해설이네요. 조건들을 하나씩 이렇게 사용할지 생각도 못했습니다.
단순히 f(1)을 기준으로 이리저리 하다가 조건에 부합하는 개형을 찾아서 푸는 방법만 생각하고 있었는데 어떻게 문제 자체를 접근할지 감을 잡은 것 같아요!
평소에 문제 조건 해석보다 그냥 개형이나 조건을 찍어 맞추자는 식으로 일단 부딪쳐보는 성향인지라 성적이 한계가 었습니다. 그래서 요즘 제 문제점이 뭔지 찾고 있었는데 우연히 이 글을 보게 되었고 뭔가 실마리를 찾은 것 같습니다. 좋은 칼럼 감사합니다
특히 난이도가 높아질수록 케이스 분류보다는 선 분석 후 계산이 효과적입니다. 사실 워낙 난이도가 있는 문항을 선택했고 제 생각을 두서 없이 쓴 경향이 좀 있어서 걱정했는데 잘 보셨다니 다행입니다.
앞으로도 좋은 칼럼 부탁드리겠습니다
제가 턱걸이 1등급 실력인데 문제를 풀고 자꾸 흐르는 느낌이 듭니다
오답을 안하고 있는데 틀린 문제에서 확실히 얻어가려면 어떻게 복습하는걸 추천하시나요?
오답을 안 하는데 틀린 문제에서 뭘 얻어가죠..?
처음부터 들이받지 말라는 말이 진짜 내생각이랑 너무 일치함 뭘 해야 할지 미리 생각하고 식을 어떻게 세우고 어디서 어떤 조건을 뽑아와서 미지수를 어떻게 소거할지 길을 다 봐놓고 풀어야 함
가능한 한 케이스를 안나누고 논리적으로 여러 케이스를 한번에 처리하기 << 이거연습이 ㅈㄴ 필요
84-88구간에 작년부터 정체되어있었는데, 이번년도에 들어서 n제를 정리하고 한 문제를 풀때 최대한 많은 것을 파악한 후에 풀이로 들어가니 실모에서 훨씬 안정감 있는 풀이가 가능하더라고요.
그런데 얼마나 해야 92로 오를 수 있을까요? N제를 30권 실모는 60회 가량 풀었습니다
얼마나 해야 된다는 건 저도 모르죠.. 물론 92가 재능의 영역은 아니지만 92에 도달하기 위한 노력의 양은 재능의 영향을 많이 받습니다
관 악 무 쇠 주 먹
와 이거 이해하고 문제에 적용해보는데 막힌 벽이 뚫린듯한 느낌이 들어요
진짜 감사합니다
g(x)는 연속함수이며 삼차함수는 변곡점에서 기울기가 최소이므로 이 문제에서 g(x)가 변곡점 x 좌표 값을 가질 수가 없다
이 부분이 이해가 잘 안갑니다 ㅠㅠ 변곡점에서 x좌표5/2를 가질 순 없나요?
평균변화율인데 미분계수 최솟값이 나올 수는 없죠..?
개념을 잊은 질문이었네요.. 칼럼 너무 도움됐습니다 감사합니다
글 잘 보고 있습니다!! 혹시 하편은 언제 올라올지 알 수 있을까요?? 기다리고 있습니다
이번 주말로 계획 중입니다
감사합니다!
.
?