[문제 1] 자신의 등에 1번부터 8번까지 번호를 붙인 여덟 명의 학생이 깃발을 각각 하나씩 들고 등번호 순 서대로 일렬로 서있다. 이 학생들이 1부터 8까지의 자연수 중에서 자신이 좋아하는 숫자 하나를 자신의 깃발에 적어 넣는다. (같은 번호를 쓴 학생이 있을 수 있다.) 그리고 1에서 8까지 번호가 붙어있는 여덟 개의 통이 왼쪽부터 오른쪽으로 증가하는 번호순으로 한 줄로 정렬되어있다. 이제 등번호 1번부터 8번까지 한 사람씩 다음의 원칙에 따라 깃발을 통에 넣는다.

(1) 하나의 통에는 많아야 하나의 깃발만을 넣을 수 있다. (2) 자신의 깃발에 쓰여 있는 번호와 일치하는 번호의 통에 깃발을 넣는다. (3) 자신의 깃발에 쓰여 있는 번호와 일치하는 번호의 통에 이미 다른 깃발이 들어 있으면 바로 옆에 있는 오른쪽 통을 본다. 만일 비어있으면 넣고, 아니면 다시 그 옆의 오른쪽 통을 살펴본다. 이런 식으로 계속해서 자신의 깃발을 통에 넣을 수 있으면 넣는다. 그러나 만일 8번 통까지 살펴 보고 나서도 넣을 수 없으면 깃발을 들고 퇴장한다. (즉, 왼쪽 1번 통에서 출발하여 오른쪽으로 이 동하여 8번 통까지 깃발을 넣을 수 있는 기회는 단 한 번뿐이다.)

위의 조건을 만족시키며 8개의 모든 깃발을 통에 넣을 수 있도록 써 넣은 수들의 수열을 “성공수열”이라고 하자. 예를 들어, 학생 모두가 깃발에 1을 써서 1,1,1,1,1,1,1,1 의 수열이 되면 위의 규칙 에 의하여 모든 깃발을 통에 넣을 수 있다. 그러므로 이 수열은 성공수열이다. 그러나 모두가 깃 발에 8을 써서 8,8,8,8,8,8,8,8 의 수열이 되면 깃발을 모두 넣을 수는 없으므로 성공수열이 아니다.

문제 (가) 깃발에 쓰인 숫자가 (A) 6,1,4,1,4,2,7,2 그리고 (B) 6,1,5,1,5,2,7,5 의 수열일 때, 수열 (A)와 수열 (B)가 각각 성공수열인지 아닌지를 말하고 설명하시오. (만일 성공수열이면 통 안에 있는 깃발의 수열을 순서대로 말하고, 성공수열이 아니면 깃발이 없는 통의 번호를 모두 말하시오.)

문제 (나) 위의 제시문은 주어진 수가 8인 경우이다. 만일 같은 상황에서 8 대신 어떤 자연수 n이 주어지는 일반적인 경우를 생각할 때, 깃발의 수열이 어떤 조건을 만족해야 성공수열이 되는지 그 조건을 간결하고 명확하게 말하고 설명하시오.

- 2

[문제 2] 아주 정밀한 원자시계가 장착되어 있는 송신기가 알려진 위치에서 매 시 정각에 전파를 송신하고 있다. 이 송신된 전파를 수신하는 수신기의 전파 수신 시각을 측정하여 송신기로부터의 거리를 계산함으로서 수신기의 위치를 알아내고자 한다. 수신기는 송신기보다 훨씬 덜 정확한 시계가 장착 되어 있어서 시간이 지날수록 송신기와의 시각의 오차가 누적된다. 그러나 아주 짧은 시간 동안에 생성되는 오차는 무시할 수 있다. 수신기 시계의 오차로 인하여 송신기에서 송신한 전파의 이동 시간은 정밀하게 측정할 수 없지만, 두 송신기에서 송신한 전파가 수신기에 도달한 시각의 차는 정밀하게 측정할 수 있다. 전파 도달 시각의 차가 일반적으로 아주 작아서, 그 짧은 시간 동안 누적된 수신기 시계의 오차는 무시 할 수 있기 때문이다. 만일 알려진 위치에 설치된 송신기가 1대 뿐이라면 수신기 시계의 오차 때문에 수신기와 송신기 사이의 정확한 거리를 알아내는 것은 불가능하다. 예를 들어, 1시 정각에 송신된 신호를 수신기의 시계를 기준으로 1시 1초에 수신하였다고 하자. 이 때, 수신기로 측정한 전파의 이동 시간은 1초 가 되고, 전파의 속력이 빛의 속력인 c (m/s)이므로 송신기와 수신기 사이의 거리는 c (m)일 것이 라고 생각할 수 있지만, 이는 옳지 않다. 왜냐하면 수신기의 시계에 오차가 있기 때문에 수신기가 전파를 수신한 시각은 1시 1초가 아니며, 전파가 이동하는 데 걸린 시간 역시 1초가 아니기 때문 이다.

※ 아래의 문제에 대한 답을 말할 때, 수신기의 위치를 나타내는 구체적인 수식은 제시할 필요가 없습니다.

문제 (A) 한 직선 위에 2대의 송신기가 알려진 위치에 있고, 그 둘 사이에 1대의 수신기가 위치하고 있다고 하자. 1시 정각에 2대의 송신기에서 동시에 송신된 전파의 수신 시각을 각각 측정하여, 수신기의 위치를 찾을 수 있는가? 그 가능성을 말하고 이유를 설명하시오.

문제 (B) 어떤 평면 위에 위치가 알려진 송신기 A, B, C와 이들 송신기 3대를 꼭짓점으로 하는 삼각형 내 부에 1대의 수신기가 있다. 송신기 A와 B에서 송신한 전파가 수신기에 도달한 시각의 차를 정밀 하게 측정하고, 또한 송신기 A와 C에서 송신한 전파가 수신기에 도달한 시각의 차를 정밀하게 측정하여, 이 두 측정값을 바탕으로 수신기의 위치를 찾을 수 있음을 기하학적인 방법을 사용하여 설명하시오.

1번에 A만풀겠네요,, 어디물어볼데가 없어서 며칠때 끙끙대고 있어요. 나머지 풀이좀알려주세요!!

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veiner · 526390 · 15/10/05 13:00 · MS 2014

1번은 총갯수가 n개라 했을 때 k 이상의 수를 지정한 인원수가 n-k+1보다 많으면 성공수열이 안될거같네요

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veiner · 526390 · 15/10/05 13:04 · MS 2014

2번 A 가능. 특정 시간에 전파를 송신했을 때, 수신기에서 측정된 수신시간의 차이에 속도를 곱하면 나중에 도착한 전파가 얼마나 더 이동했는지 나오죠. 선 위에 A B 수신기가 존재하니까 수신기 위치를 특정할 수 있습니다

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16400 · 557751 · 15/10/10 23:11 · MS 2015

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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16400 · 557751 · 15/10/10 23:11 · MS 2015

시간의 차이만 알 수 있으니 모르지 않나요..? 아닌가
특정한다의 기준이 사실 뭔지 잘 모르겠어서 헷갈리네요

만약 도달시간이 2초 차이나도 같은곳에서 와서 2초인지 다른 방향에서 와서 2초인지 몰라도 정할 수 있다고 보는건가요..?

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veiner · 526390 · 15/10/10 23:14 · MS 2014

무조건 두 수신기을 이은 직선상에 있으니까 거리차이로 위치를 특정지을 수 있는거에요! 만약 좌표평면이라면 두 점에서의 거리의 차가 일정하니까 가능한 송신기의 위치가 쌍곡선 모양으로 나오겠네요

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16400 · 557751 · 15/10/10 23:15 · MS 2015

아 그렇네요 ㅋㅋ
순간 딱 어느 지점을 정하는 걸로만 국한해서 생각해버렸네요.. ㅋㅋ

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veiner · 526390 · 15/10/05 13:10 · MS 2014

2번 B도 수신기 위치에서 AB와 AC에 내린 수선의 발을 H1. H2라 하면 2-A와 같은 방법으로 위치를.특정 할 수 있어요. 그 두 점에서 수직으로 그어 올려서 만나는.점이 수신기 위치겠네요

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