수학 성적을 잘받아보자! (2)240628을 눈에 보이는 것 부터 풀어보자
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화학 1을 계속 할걸 그랬어요...
많은 강사분들께서 엄밀함/범용성/시간단축 등등으로 서로의 풀이법에 대한 의견이 분분했던 문제인걸로 기억해요.
저의 경우 시험장에서 어떻게 풀었는지 한번 떠올려 볼게요.
첫번째로는 조건 (나)를 어떻게 쓸지 생각했습니다.
f(0)과 f(2)에 관한 관계식이니까 이걸 활용해보자 라는 생각을 떠올렸어요.
일단 (가)식의 양변에 0과 2를 대입하는데
우변 함수의 주기성때문에 우변이 같습니다.
두 식을 연립하는데 같은 수가 나오네요. 빼 줍시다.
정리하니 f(0)과 f(2)에 관한 또다른 관계식을 찾을 수 있었어요.
f(0)과 f(2)로부터 a+b=-3/4까지 이끌어낼 수 있었습니다.
여기까지의 과정에서 중요한 것은
1) 할 수 있는것부터 하나씩 쳐내간다.
2) 기본적 원리를 지킨다.
미지수의 개수, 문자와 식의 개수를 고려했을 때 식이 하나 더 필요한 상황이 발생했어요.
(나)에서 할 수 있는걸 다 해봤으니 (가)를 이용해 봅시다.
(가)를 보니 우리가 모르는 함수 f와 우리가 모르는 식(우변)이 있습니다.
다만 a를 제외하고는 다 아는 상황이니(b를 a에 관한식으로 쓸 수 있으니) 우변을 먼저 건드려 봅시다.
일단 무지성 미분을 해봅니다.
식이 이렇게 정리되고, 사인이 0일 때 극값을 갖나봐요.
우변에서 x가 2k(k는 정수)이면 -3/4라는 극댓값을 갖고
x가 2k-1(k는 정수)이면 극솟값을 갖네요.
근데 이 극솟값이 얼마인지 알 수 없어서 풀수가 없어요.
그럼 이제 극솟값을 찾아내기 위한 고민을 시작해야해요.
(가)에서 x가 2k-1일 때 양변 모두 최솟값을 가져요.
왜냐하면 좌변과 우변이 등호로 연결되어 있기 때문입니다.
그러면 그 때의 함숫값이 얼마인지 고민을 시작해야 해요.
근데 보니 연속함수라는 조건이 있네요.
연속함수라는 조건을 써먹기 위해 좌표평면에 점 두개를 찍어봅시다.
일단 연속함수니까 (0,-1/2)과 (2,-3/2)라는 두 점이 우변 함수의 그래프상에서 이어져있나봐요.
그런데 좌변에서 함숫값이 -1일 때 우변이 최소가 되어요.
사잇값 정리에 의해 f(c)가 -1이 되는 실수 c가 (0,2)에 존재하네요.
우변에 의해서 0,1,2외의 다른 x좌표에서는 극값이 존재하지 않아요.
즉, f값이 -1인 x에서 극값을 갖고, 그 때의 x값은 1이 되는 것이죠.
이렇게 1을 대입했을 때 f값이 -1이 되므로, 이를 바탕으로 계산해주면 a와 b를 구할 수 있습니다.
비록 이 문제를 풀기 위한 최적의 풀이(합성함수, 근의공식, 완전제곱식 등)가 떠오르지 않더라도, 이런식으로 하나하나 해나가다 보면 풀 수 있어요.
여러분도 굳이 특정 상황이 오면 특정 풀이를 써야겠다. 이런 강박에서 벗어나 하나하나 풀어나가고,
시험 상황에서 스스로가 정한 풀이로 풀어보는 경험을 한 번 해보시길 바랍니다. 굉장히 보람찬 경험이에요.
그리고 문제 풀이가 끝난 후 더 좋은 풀이들을 찾아보며 색다른 관점들을 배우는거죠.
특정 풀이를 풀기에 유리한 풀이는 있어도 무조건 정답인 풀이는 없다는 점 기억하시고
여러분들도 자신감을 갖고 문제를 풀며 수학의 즐거움을 느껴보셨으면 좋겠습니다.
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