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드기 [1174138] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2024-01-25 11:25:30
조회수 1,483
1

근사에 대하여…

게시글 주소: https://m.orbi.kr/00066830014

본론에 들어가기 앞서 이 글을 쓰게 된 계기는 나처럼 헛수고하는 수험생이 줄고 더욱 빠르고 명료하게 바른 길을 가자는 취지로 만들었다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gMCt9XnsgfSBcZnJhYyB7dGFueCArIDJzaW54IC0zeH17MnheezV9fQ==$

위의 문제를 풀어보도록 하자.(딱히 안 풀고 글 읽어도 큰 지장은 없으며 이 글을 읽는 독자로 하여금 큰 공감을 이끌어내기 위한 하나의 장치이므로 무시해도 상관없다.)

당신은 이 문제를 못 풀 것이기 때문에 고집부리지 말고 몇번 끄적이다가 내려가자.

일반적으로
sinx=x

tanx=x

Cosx = 1-(x^2)/2

로 간주하고 문제를 풀어 왔을 것이다.

가끔 근사를 사용하다가 안통하는 문제를 만나 혼나본 적도 있을 것이며, 별 탈 없이 꾸준히 근사를 사용하는 사람도 있을 것이다.

나는 후자였다가 따끈따끈하게 전자가 되었다.

우리는 크게 3가지 질문을 던질 수 있다.

근사의 원리는 무엇인가?

어떤 경우에는 되고, 어떤 경우에는 안되는가?

근사로 풀리는 문제 vs 근사로 안풀리는 문제 에서 왜 근사로 풀리는 문제가 대다수인가?

3가지 질문간의 교집합이 존재하기 때문에 같은 내용이 중복 될 수 있음을 유의해주길 바란다.

1. 근사의 원리는 무엇인가?

혹자는 lim sinx/x = 1 이니까 0근처에서는 sinx/x = 1

따라서 sinx=x 라고 간주해도 돼

(1-cosx)/x^2 = 1/2 이니깐 이런식으로 유도되는거지

라고 말 하는 이가 있거나, 수학에 관심이 많아서 맥클로린 급수나 테일러 급수를 찾아보고

Sinx = x - (x^3)/6 + (x^5)/120 …

등등

초월함수를 다항함수로 표현하는 과정이 내재되어있음을 유의하고 lim가 0으로 가면 (우극한) 최저차항 비교라는 것을 알고있다면

간단한 근사는 안통하게 충분히 만들 수 있음을 알 것이다.

예를들어

$U2lueCA9ICB4IC0gXGZyYWMgezF9ezZ9IHheezN9Li4u$

$dGFueCA9IHggKyAgXGZyYWMgezF9ezN9IHheezN9Li4u$

이므로

(tanx - sinx)/x^3는 일차항끼리 소거가 되기 때문에 이런 경우는 근사를 쓸 수 없다고 말 하거나 또는 위 식을

$c2lueCggXGZyYWMgezEtY29zeH17xQYp$ 으로 변형할 수 있기 때문에 속에 1-cosx 가 ‘숨어있었다’

라고 말한다.

나는 근사를 명확한 기준으로 체계적으로 만들기 위해 많은 노력을 했지만, 유동적으로 서로 묶이고 분배되고 덧셈 뺄셈으로 연결되는 식들을 한눈에 보고 근사의 사용 여부에 판단을 내리기는 쉽지 않았다. 그러나 그나마 세운 체계를 바탕으로 이 글을 따라와 근사에 대해 한걸음 더 나아가길 바란다.

2. 언제 되고 언제 안되는가?

이 질문은 곧 근사의 체계를 묻는 기준과 같다.

일단 답을 하기 앞서서 그동안 근사로 문제를 풀었을 때,

안 풀린 문제와 풀린 문제의 비율에서 ‘풀린다’라는 것이 압도적으로 많다는 사실을 기억해주길 바란다.( 이는 곧 많은 이들을 ‘기준이 없는 근사’라는 다소 위험한 스킬을 장착하게 했으며 나중에 다시 언급할 것이다.)

내가 조금이나마 체계를 정해주도록 하겠다. 자신만의 체계가 있거나 나와 충돌한ㄷㅏ면 즉시 스스로 찾아보고 만약 내 설명에 문제가 있다면 지적해주길 바란다. (잘못된 지식을 퍼뜨리는 것 만큼 무지한 것은 없다.)

근사는 곱연산에선 무적이다.

사인과 코사인과 탄젠트 간의 곱으로 표현된 넓이 함수나 길이 함수를 서로 나누거나 세타로 나누는 것이 최종목표인 문제가 대다수이며 이는 곧 아까 말했던 ’풀리는 문제가 대부분‘이라는 것을 지지하기도 한다. 왜 그럴까?

근사를 방지하는 방법은 최저차항을 임의로 바꾸는 것이다.

삼각함수를 다항함수로 변환하는 과정에서 최저차항이 결정되고 근사는 최저차항만 간주하기 때문에 근사에 오류를 유도하기 위해 일부러 ‘합연산’을 첨가하는 것이다. 합 연산으로 최저차항을 소거히여 2차 3차 더 나아가 5차로 바꾼다면 그 문제는 근사와 멀어진다고 생각하면 된다. 그러나 곱연산은 이야기가 다르다.

곱으로 연결된 삼각함수는 그 자체를 근사식으로 바꾸어도 소거가 일어날 일이 없다. 그냥 없으니깐 안심하고 써도 된다.

여기까지 읽었다면 tanx-sinx는 합연산으로 최저차항을 임의로 바꾼 예시군! 이라고 생각했다면 훌륭하다.

사실, 합연산에서도 취할 수 있는 입장은 크게 두가지 인데,

”합연산이네? 그냥 풀어야겠다.“

이고, 극히 일부는

”난 테일러급수 2~4번째 까지 외웠는데?

응 두번째까지 빼버리면 그만이야~ 응 1/2“

할 수도 있다. 이런식으로 합연산을 대비하거나

테일러 급수를 모르면 못 풀정도의 문제도 충분히 만들 수 있다.

부디 곱연산에서만 쓰길 바라며, 니 눈 앞에 식에 +나 -로 연결된게 보인다면 제발 한 번 생각해보길 바란다.

3. 왜 근사로 풀리는 문제가 대다수인가?

근사는 곱연산에서 사용된다. 합연산으로 최저차항 소거 과정을 통해 근사를 방지할 수 있다. 그러면 왜 후자의 문제보단 전자의 문제를 만들어 마치 근사를 지향하는 입장을 취하듯이 행동하는 것인지 의문을 가질 수 있는데,

내가 평가원이라고해도 이렇게 문제 낼 것 같다.

지금까지 나의 이야기를 들어줬다면,

곱연산에서 근사 무적 삐슝빠슝, 합연산으로 근사 방지 시무룩

이 문장이 머리에 남아있을 것이다. 출제자도 이를 알기에

합연산으로 근사를 방지하고 싶지만 잘못 건드렸다가는

내가 낸 문제 같이 테일러 급수를 모르면 못 푸는 문제가 나올 수 있기 때문이다. (맞다, 이 문제는 내가 의도적으로 최저차항을 소거하여 최저차항을 5차로 만들어버린 무시무시한 문제다. 따라서 우리가 아는 식조작을 통해 위 문제를 풀 수 없다.)

이것은 마치 ‘5초 게임’과 같다.

0초부터 카운트하는 타이머를 작동하여 0~5초 사이에 멈추면 살고 5초를 넘긴다면 죽는다는 게임이 있다고 하자(물론 지어낸 말이다.)

가장 좋은 방법은 누구나 할 수 있는 시작하자마자 바로 누르면 된다. 누구도 굳이 생사를 넘나드는 스릴을 느끼며 4.99초를 하려하지 않는다.

마찬가지다. 괜히 합연산으로 했다가 테일러급수네 맥크로린급수네 뭐네 하며 교육과정과 부합하지 않는다는 논란이 일어날 요인 자체를 막는것이다. 오히려 삼각함수극한 연산 보다는 그 식 자체를 구하는 과정에 힘을 주어 문제를 만드는 것도 하나의 방법이며 현재는 이러한 방법으로 문제를 출제하는 것으로 보인다.

마지막으로 내가 낸 문제의 풀이를 적어놓으며 이만 말을 마치도록 하겠다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

$U2lueCA9IHggLSAgXGZyYWMgezF9ezZ9IHheezN9ICvMFjEyMMUYNX0tLi4u$