여러 보존 법칙들과 뉴턴의 운동법칙을 통해서 운동 경로등을 얻는 것이죠. 하지만 뉴턴의 운동법칙은 1차원에서는 쉽지만, 2차원이나 3차원의 경우 벡터를 사용해야하기 때문에 방정식의 개수가 늘어나고, 상당히 복잡해집니다. 또, 풀 방법이 사실상 아예 없는 경우도 있죠. 이를 해소하기 위해 개발된것이 바로 해석역학, 그중에서도 라그랑주 역학입니다.

라그랑주 역학은 "해밀턴의 원리" 라는 기본적인 원리에서 출발합니다. 해밀턴의 원리는 자연의 기본적인 성질을 기술하는데요,

"자연은 액션이 최소화 되는것을 가장 좋아한다"

라는 원리입니다.

액션은 간단하게 말하면 운동경로에서 운동에너지와 퍼텐셜에너지가 얼마나 차이가 나는지를 말합니다.

운동에너지 T와 퍼텐셜 에너지 U에 대해, T-U를 L, 라그랑주의 이름을 따서 라그랑지언이라고 하는데,

$TD1ULVU=$

이 라그랑지언이 운동 경로상에서 최소가 되도록 했을때가 실제 운동경로가 됩니다. 즉, 액션 S

$Uz1caW50IF97dF8xfV57dF8yfSBMZHQ=$

가 최소가 되는 경로를 찾으면 됩니다. 뉴턴역학과 다르게 벡터를 쓰지 않아도 되기 때문에 문제가 쉽게 풀리는 경우가 많죠!

이런 해밀턴의 원리가 실제로 맞는지 간단한 예시를 들어보겠습니다.

공을 연직 아래 방향으로 떨어뜨리면 공은 옆으로 휘거나 하지 않고 그대로 아래로 쭉 떨어집니다. 그 이유는 그렇게 하는 것이 해밀턴의 원리를 만족시키기 때문이죠. 만약 옆으로 휘었다가 다시 돌아오는 과정을 거친다면, 에너지 보존 법칙으로 인해 공의 연직방향속력은 수직으로 떨어질때보다 작아지게 됩니다. 그러면 결국떨어질때까지 걸리는 시간은 길어지지만 T-U는 같은 높이에서 수직으로 떨어질때와 곡선 경로로 떨어질때가 항상 같으므로 액션은 늘어나게 됩니다. 즉, 해밀턴의 원리를 만족시키지 않는 경로이므로 물리학적으로 참된 경로가 아닌거죠!

또 이런 해석역학은 뉴턴역학과 달리 양자역학같은 다른 학문과의 결합이 쉽다는 장점이 있습니다. 해밀턴 역학에서 쓰이는 해밀토니안은 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식에서도 등장하거든요

물론 개념 자체는 뉴턴역학에 비해 덜 직관적이지만, 여러 가지 장점을 가지기 때문에 라그랑주 역학과 해밀턴 역학은 여기저기서 쓰이고 있습니다.

(+그렇다고 뉴턴 역학의 장점이 아예 없진 않습니다. 속도에 비례하는 비보존력, (ex. 공기저항)이 작용하는 경우에는 라그랑주 역학을 적용하기가 매우 까다로워집니다... 이럴땐 뉴턴 역학을 써야되겠죠)

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공부가하기싫은사람 [993175]

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연간커리큘럼 · 1305554 · 05/13 18:17 · MS 2024

어... 진짜 알기싫게 생겼다... 재밌지만 재미없는 과목이 수학 아닐까....

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공부가하기싫은사람 · 993175 · 05/13 18:19 · MS 2020

계속 미분하고 적분하고 에너지 보존 쓰고 쌩난리 쳐야되는 뉴턴역학이랑 다르게
식 딱 세번만 미분해서 오일러 방정식에 집어넣기만 하면 끝나는게 해석역학인디

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