6月 기하 28,29,30 Solution

공통 영역에서는 밀도높은 계산과 비교적 낯선 발문과 조건을 제시함으로 시간을 소요시켰던 시험지었습니다.

선택과목에선 조금 숨통이 트이나.. 싶었지만 28번, 29번, 30번 모두 미출제요소와 특이표현을 삽입하여 까다로웠습니다.

바로 문제를 보시겠습니다,  *(현장에서 응시한 원본 그대로이기에, 가독성이 조금 떨어질 수 있는 점 양해 부탁드려요..! :D )

28. 벡터방정식의 해석, 이등변 삼각형의 발견

1. QA+QP=2QM 중점 벡터 이용하기

2. 내적이 0 -> 수직 조건의 등장

3. WLOG, 임의의 p점을 세팅, Q를 작도해봅니다. -> 직선 OM은 현 AP의 수직 이등분선 -> 이등변삼각형의 생성 틀

4. |PQ|=|AQ|의 최소를 구하면, A에서 제일 가까운 Qm(1,-2)일때 |AQ|가 최소가 되며, 이때 |PQ|도 최소가 됩니다.

5. 원 밖에서 그은 두 접선 -> 합동인 직각삼각형 제조기 -> AQ는 원에 접하고, 삼각형 OAQ=OPQ가 됩니다.

29. 이차곡선의 방정식, 이차곡선의 정의요소

30. 벡터방정식의 이해, 이차곡선의 정의요소

#29.

1. 절댓값 풀기, y^2=1+-x^2/a^2 이니, 식을 정리하면 그림과 같이 쌍곡선과 타원을 얻을 수 있습니다.

2. PC+PD=일정 (루트5) -> 이차곡선의 정의 [타원]을 연상합니다. -> a=루트5/2, c^2=a^2=-1에서 c=1/2임을 얻습니다.

3. c+1=3/2=쌍곡선의 초점과 일치함을 확인합니다 -> A, B는 쌍곡선의 두 초점이 됩니다.

4. 쌍곡선의 정의를 연상합니다, BQ=AQ+2+12가 됨을 이용해 삼각형의 둘레를 구합니다.

#30.

1. 쌍곡선에 대한 정보 제시 -> 함수식을 작성합니다.

2. PF<PF' 조건을 만족하는 P는 x>0부분의 절반 쌍곡선 위에 놓임을 이해합니다.

3. WLOG, 임의의 P를 세팅, 쌍곡선의 정의를 이용해 PF = l, PF' = l + 6으로 세팅합니다.

4. 벡터방정식 쪼개기 (|FP|+1)F'Q = 5QP 에서 좌변의 F'Q벡터 앞에 곱해진 부분은 상수이고 F'을 시점으로 하니, 우변도  F'을 시점으로 하는 벡터로 분해합니다. -> 정리하면 (l+6)F'Q = 5F'P이고, F'P의 크기가 l+6, F'Q는 F'P의 방향을 연속적으로 따라가는 크기가 5인 벡터가 됨을 알 수 있습니다.

5. Q의 자취를 구합니다, 양수인 쌍곡선의 점근선의 기울기가  4/3이니, F'Q의 기울기 m 이  -4/3<m<4/3이 되는 부분으로만 생성됩니다.

*(5번 과정은 실전에서는 스킵하는 편이 시간단축에 도움이 되지만, 엄밀하게 Q의 자취를 제한함으로 명확함을 더할 수 있습니다. ) 

6. AQ의 최대 길이를 구하기 위해, 원의 중심을 경유하면 AF'+F'Q=5+5로, 이때 AF'의 기울기가 3/4이므로, 최대가 되는 Q는 Q의 자취 안에 존재함을 추가로 확인할 수 있습니다.

총평으로 기하에서 묵직함을 준 28번은 객관식이자 4점의 시작이지만 28 29 30중 가장 까다로웠고 벡터의 작도를 도형적 성질과 연계해야 하는 추론 문항이었습니다. 

비슷한 느낌의, 추론을 요구하는 23.11.29의 평면벡터문항이 떠오르는데, 이 문제 역시 (다)조건에서 도형적 성질을 작도하는것이 핵심이었습니다. 

앞으로 평면벡터를 연산할때 확대 축소(실수배), 평행이동, 내분, 외분등 교과서에서 다루는 벡터의 성질을 넘어, 그 작도되는 벡터들이 이루는 도형과 그 도형의 특수성을 다시 벡터 조건으로 녹여내는 연습이 필요할 듯 합니다.

29번의 경우 이차곡선의 식을 제시하는 특이표현과, 텍스트로 풀어둔 문장에서 이차곡선의 정의요소를 연상하는것이 핵심이었던 추론 문항이었습니다.

30번의 경우 제작년부터 틈틈이 보이던 이차곡선 + 벡터 융합 유형으로, 어떻게 식을 조작하면 이차곡선의 정의요소를 녹일 수 있을지를 생각해가며 풀이를 전개하는 것이 핵심이었습니다.    

오늘 하루 모두들 수고하셨어요 ;D

긴 글 읽어주셔서 정말 감사드려요!