Chern-Simons invariant in hyperbolic 3-manifold
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00068864906
Definition (Chern-Simons 3-form). Let $\pi:P\to M$ be a smooth principal $G$-bundle. Suppose we are given an $\mathrm{Ad}$-invariant symmetric bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{g}\times\mathcal{g}\to\Bbb C$. (i.e. $\langle\mathrm{Ad}_ga,\mathrm{Ad}_gb\rangle = \langle a,b\rangle$) The Chern-Simons 3-form $\alpha$ of a connection $\omega\in\Omega^1(P,\mathcal{g})$ is
$$\alpha(\omega) = \langle\omega\wedge\Omega\rangle - {1\over 6}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle = \langle\omega\wedge d\omega\rangle +{1\over 3}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle\in\Omega^3(P,\Bbb C).$$
In particular, if $M$ is a compact oriented smooth 3-manifold with or without boundary, and if there exists a smooth section $\sigma:M\to P$, the Chern-Simons invariant is
$$\mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma) = \int_M\sigma^*\alpha(\omega)\in\Bbb C.$$
물론 여기서 Chern-Simons 3-form의 각각의 항에 대한 설명이 필요하다. 보통 $\mathcal{g}$-valued form의 wedge product는 다음과 같이 정의한다: 만약 $\alpha = \alpha^iE_i$, $\beta = \beta^jE_j$, 여기서 $E_i$는 $\mathcal{g}$의 basis를 뜻한다. 그러면 각각의 $\alpha^i$와 $\beta^j$는 differential form들이고, 따라서 wedge product가 이미 정의가 되어 있다. 따라서,
$$[\alpha\wedge\beta] = \alpha^i\wedge\beta^j [E_i,E_j]$$
로 정의를 한다. 다시 말해서, coefficient들의 wedge sum을 하고 basis들의 Lie bracket을 이용해서 정의한다.
따라서, Chern-Simons 3-form에서 각 항들은 wedge product의 coefficient들에 주어진 bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$을 적용해서 정의하는 것이다.
만약 $G$가 Lie group이라고 한다면, $\langle\cdot,\cdot\rangle$은 $\Bbb R$-valued로 보통 다음을 사용한다:
$$\langle a,b\rangle = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(ab).$$
예를 들어, oriented Riemannian manifold $M$이 있을 때, frame bundle $FM\to M$을 항상 associate할 수 있는데, 만약 $\nabla$가 Levi-Civita connection이라고 한다면, Chern-Simons 3-form of $\Delta$는
$$\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\omega\wedge\Omega - {1\over 3}\omega\wedge\omega\wedge\omega) \in\Omega^3(FM,\Bbb R)$$
가 된다. 참고로 위의 $\mathcal{g}$-valued form으로의 대응은 다음의 대응 관계로 다시 볼 수 있다:
$$\{\text{metric connection }\nabla\text{ on }TM\to M\}\leftrightarrow\{\text{principal }SO(n)-\text{connections }\omega\text{ on }FM\to M\}$$
* 참고로 Principal $G$-bundle에서의 connection 1-form은 원래 connection 1-form과 좀 다르게 정의하는데, 원래 connection 1-form은 local하게 밖에 정의가 되지 않는데, principal bundle의 경우에는 global하게 정의할 수 있다.
$\omega\in\Omega^1(P,g)$가 connection 1-form이라는 것은, (1) $\omega_p(\underline{X}_p) = X$ for any $X\in\mathcal{g}$ and $p\in P$, (2) $r_g^*\omega = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega$ 인 경우를 말한다. 여기서 $\underline{X}_p$는 소위 fundamental vector field라고 불리는 것인데,
$$\underline{X}_p = d/dt|_{t = 0} p\cdot e^{tX}\in T_pP$$
로 정의한다.
$\omega_p$는 canonical 한 choice가 있는데, 만약 $v:T_pP = V_p\oplus H_p\to V_p$가 vertical component로의 projection이라고 한다면, $V_p$는 $\mathcal{g}$와 $G\to P, g\mapsto p\cdot g$의 tangent map에 의해서 identify할 수 있고, 따라서 $\omega_p = v:T_pP\to\mathcal{g}$로 정의할 수 있다.
참고로 이러한 connection 1-form이 principal bundle에 정해져 있으면, 1-form의 kernel로 horizontal distribution을 잘 정의할 수 있다.
왜 이런식으로 Chern-Simons 3-form을 정의했는지 의문이 될 수 있는데, 한 가지 계산을 통해서 알 수 있는 것은
$d\alpha(\omega) = \langle\Omega\wedge\Omega\rangle$이 된다는 것. $\nabla$에 대해서는
$d\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)$가 된다. $[\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)]\in H^{4}(M)$가 Pontryagin class인 것을 상기해보면, Levi-Civita connection의 Chern-Simons 3-form은 Pontryagin class의 potential로 정의된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 홀수 $p=2n-1$에 대해서 Chern-Simons $p$-form은 $[\mathrm{tr}(\Omega)^{2n}]\in H^{4n}(M)$의 potential, 다시 말해서 $d\alpha_{2n-1} = c_n\mathrm{tr}(\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega)$인 $p$-form on $M$을 말한다. 여기서 $c_n$은 그냥 아무 constant나 잡아도 된다.
정의를 보면, Chern-Simons invariant는 global section에 depend가 된다. 우리는 적절히 mod를 해서 Chern-Simons invariant를 global section에 depend하지 않도록 하고 싶다. 이걸 위해서는 global section에 얼마나 CS-invariant가 변하는지 알아야 한다.
이러한 dependence를 반영하는 공식이 있는데, $\varphi:P\to P$를 smooth fiber bundle isomorphism이라고 하고 $g_{\varphi}:P\to G$를 $\varphi(p) = p\cdot g_{\varphi}(p)$로 정의하자. (앞에 나온 $p$에서의 fiber와 $G$와 identify를 하는 map이다.)
Proposition. Let $\varphi:P\to P$ be a bundle isomorphism. Let $g = g_{\varphi}\circ\sigma$.
$$\varphi^*\alpha(\omega) = \alpha(\omega) + d\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}_{\varphi}}\omega\wedge g^*_{\varphi}\mu\rangle - {1\over 6}g^*_{\varphi}\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
In particular,
$$\mathrm{CS}_G(M,\varphi^*\omega,\sigma) = \mathrm{CS}_{G}(M,\omega,\varphi\circ\sigma) = \mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma)+\int_{\partial M}\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega\wedge g^*\mu\rangle - {1\over 6}\int_M g^*\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
$G = SO(3)$인 경우에는, 가장 마지막 term은 $2\Bbb Z$라는 것이 알려져 있다. 따라서, $\bmod{\Bbb Z}$에서는 $\mathrm{CS}_{SO(3)}(M)$은 $\Bbb R/2\Bbb Z$에서 잘 정의 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
잘하고있는건지 모르겠네 기출라이팅을 많이 당해서리
-
사문 질문점여 8
이투스 김현수t 모의고사인데요(어둠의 경로 아니고 무료배포 모고입니다) 1번 선지가...
-
본인 수시 학종 쓰려는 사람인데 (특목고) 상위권 애들이 의대로 빠지면 컷이 더...
-
고2 내일까지 고3과목 수강신청인데 조언좀 주세요ㅠㅠ 고1 1학기 1.7 2학기...
-
강기분 화작 70퍼정도 했고 보통 모고에서 10분 초반대에 다 푸는데 빨리 풀려다...
-
처음해보는 인증..ㅋㅋ 39
공부하러 도서관 가는길에, 선물받은 스벅 쿠폰이 있어서, 스벅에서 아이스아메 한잔,...
-
대수학을 모르는 사람: ? 대수학을 아는 사람: ☠️
-
왜 갑자기 빨간식에서 마지막 결론에 1/2추가로 더해지나요. 답은 4e-6루트e인대...
-
언매 38번 지칭어 틀려서 개병신인가 싶었는데 잘못매긴거임 ㄷㄷㄷ 믱????
-
ㅅㅂ 수완 빅포첸 수1 수2 미적 드릴 24미적 드릴 25워크북 외2
-
9모 32245 언미세지사문 솔직히 일주일 벼락치기하고 사탐 봐서 걍 좃박음 작년에...
-
한비자 왕부지 오징어 지문은 읽어도읽어도 이해가안되네 8
진짜 뭐라는지 1도 몰루겟서
-
수능에서 백분위 기준 96(화작) 96(미적) 3 80(물리) 89(지구)면...
-
더워 5
너무 더워
-
처음에 연논으로 준비 시작해서 수능준비까지 온거긴 한데 이왕 수능 준비하는거 연논은...
-
평가원은 2컷충 교육청은 백분위 92정도나오는 허수인데 수리논술 쓸만한 대학있나요...
-
(P윤석열+보건복지부, 의대증원, 자고나면 말이 바뀌는데..기본은 하자. 대국민 사과부터. ) 0
https://www.donga.com/news/Opinion/article/all/...
-
벌써 정신병걸린다 작년까진 이렇게 지원자같은거 생생하게 볼수있는지 몰랐음 내가...
-
[2]2025수능 문학 선택지 빠르게 판단하는 방법2. (필연성) 2
요청에 의한 칼럼입니다^^. 문학에서 ‘필연성’을 갖고 있는 표현들입니다....
-
뼈로 느껴짐
-
뭔 남편아들딸갓난애기까지다싹 다 죽냐.. 이래서 현대소설은 읽기가 싫음 너무 암울해...
-
수특수완은 무조건 푸는게 맞나요?
-
기숙학원 휴가 1
10월 휴가 나오는거 추천 하시나요 아니면 그냥 수능때까지 달리는거 추천하시나요
-
사실 3번째 풀어보는거고 찍맞도 좀 있어서 88점 이하 인듯
-
내신반영하는 곳도 많고 기하확통 아예 몰라서 넣을곳이 없네요ㅠㅠ
-
9모 볼 때 30분 정도 남아서 그냥 덮고 잤는데 문학에서 2개 나가서 96 받고...
-
비문학 0
라문학에서 항상 활용 문제 틀리는데 뭐가 문제지? 그 외 문제들은 거진 다 맞히는데
-
댓글로 남기기 좀 그런 것들은 오픈채팅으로 주시면 감사하겠습니다 시간 날 때마다...
-
이감 모고 가격 사악하던데 지금까지 6모 9모 대비할땐 뽑아 풀었었는데 일반교재...
-
68점나옴... 오늘밤은 푹자고 내일 다시풀어봐야지
-
6평은 문학 다 맞았고 한 두개 헷갈리긴 했어요. 9평은 31만 틀렸습니다. 최근...
-
눈으로 힐끔거리는 걸 나타내는 의태어라서 음성 상징어 아닌가요? 사설을 풀다가 헷갈려서요...
-
진짜 뻔뻔하네 0
아들이 성범죄 저질렀으면 최소한 "면목이 없다. 피해자분들께 죄송하다"라고 말하는게...
-
하...
-
"관심 없다, 우리 애 수능 공부해야"..중학교 女동창 딥페이크 만든 고3 부모가 한 말 7
[파이낸셜뉴스] 중학교 동창 등을 상대로 딥페이크 성착취물을 제작한 혐의로 경찰...
-
작수 22번 어떻게 변형해보겠다고 기울기 문제 만들다가 데드라인 다가와서 그냥...
-
투과목 추천 2
27년도 수능 준비 하려는데 과탐 뭐가 괜찮을까요?
-
요즈음 기출에 너무 흥미가 없어서 올해 리트 풀어봤는데 원래 이렇게 빡센가요...
-
4번 선지에서 사업자가 후기조작하는 내용을 사업자가 소비자가 되어 후기 조작할 수도...
-
6,9모는 일단 1등급은 나왔는데 실모보면 70후~80중 진동하고 문학 화작에서 좀...
-
캬 이맛에 수학 공부하지 진짜...n제 벅벅하는게 진짜 실력이 안 오를수가 없는듯요...
-
오늘 할 것 0
9모 국어 사고과정 복기 왜 그런 사고를 했는가 생각 왜 그 선지를 골랐는가 생각...
-
?경쟁률공개시간변경 13일(금)정오 12시부터 접수폭주예상 6시간 블라인드...
-
15 21 22 27 28 29 30 2등급 (1컷 84) 엄.... 대구...
-
화1 테마별 엔제 추천해주실만한 것들 있을까요? 시중엔 뭔가 테마별보단 실전연습용...
-
546일의 전사 달린다 10
어...어...?
-
건수의 논술 11시에 끝나고 고대 논술 12시반 시작인데 이거 갈 수 있을까요?
야해오