엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00068865526
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
연기된 경기도 있고 취소도 되고 그래서 어쩐다는 건가요??
-
왜 틀렸나봤더니 이미 자료를 활용했네;; 국밥 유형에 발문만 슥 바꾸는건 좀..
-
아무리 생각해도 화작을 현장에서 다 맞을거라는 생각이 안드는데 2
걍 실모 벅벅하는 수밖에없음? 사설풀면 진짜 죽어도 다맞 안나오는데 ㅅㅂ 남은기간 뭘로 단련해야됨?
-
모든거싹다푼거같음…
-
결과 8
국언77 수미85 영72 한29 한지47 세지48 끝나고 개잘본줄 알고 센츄 가나...
-
책장에 지구과학밖에없음 ㅅㅂ 수특수완 3년치있고 무슨 기출책이 세개여서 봤는데...
-
언미생지 91 80 41 44 선착순 1명 1000덕 드림뇨
-
진짜 어려운거아니믄 사탐난도체감도못하는몸이되어버림 생윤 50 사문 45 이렇게...
-
매출액 종사자 수 사업체수가 다 무편슈대백 순인가요? 매출액인가는 무수대편백인가로...
-
더프 후기 1
화미영화지 84/80/2/멸망/41 수학 22번 풀걸…. (보정등급 예측좀여) 화학...
-
점수는 모두 50
-
10덮 풀었는데 문학이 뒤지게 어려워서 개오래걸림ㅣ 그래서 마킹만 하고 omr...
-
??
-
22-23분걸림 올해 문학 20분 내외 걸린 시험지 9평 10덮밖에 없었음요 진짜 상성타는건가
-
미친소리… 낼부터 고승덕모드 ON!!!! 다들화이팅
-
다들 국어 스펙뭐임? 나만좆된건가?? 나 심지어 처음에 시작한다그랫는데 ㅈㄴ...
-
화작 90 미적 67인데
-
문학에서 뭘 이렇게 자세한 내용일치를 처묻는지 모르겠네
-
연계 체감+ 문학 고전시(나)지문 (기출?) 그냥 숭배해
-
ㄹㅇㅋㅋ
-
연대도안되면 성균관대갈거 성대도안되면 중앙대갈거 중대도안되면 경희갈거 경희도안되면 해운대바다앞에갈거
-
화작하길래 나도 언매궁금해서 -,- 난솔직히 글케 쉽게안느껴졋음.. 문학이 까다로웟어..
-
ㄹㅇ
-
문학1틀이면 1
잘한거에요? 이번에 그렇게 악명높았나
-
양조장: Toppling Goliath Brewing Co. 스타일: 뉴잉글랜드...
-
10덮 결과 6
국어 86점 독서 -10 문학 -2 언매-2 과학지문 풀때 9분 남아서 날려읽었더니...
-
칼빵으로 보답해줘도 됨?
-
10월 더프 언매 95 확통 80 확통 28 29 틀림 ㅅㅂ 영어 98 듣기.....
-
하긴 옾붕이들은 다 평가원황이니까...
-
원래 1일 2실모했는데 시간을 너무뺏겨서…
-
ㅇㅇ?
-
화작 90인데 2
보정1 ㄱㄴ이죠? 무보는 안될거같긴한데 본인 화작만 두개 틀림요 한개는 안틀린건데...
-
원점수로 미적분 더프 수학 9덮68 10덮72이며 작수80, 6평84 9평92인데...
-
아직 안풂
-
진지하게 30번 빼고 다 쉽지 않냐 30번만 한 20분 동안 식 이렇게 바꿨다가...
-
하 존나
-
개병신아 문학2틀 화작1틀 독서9틀 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 와진짜좆병신인가
-
진지하게 1
9덮수학 ㄷ 10덮수학 그래도 9덮에 비해 덜 어려운 편인가
-
화작 기하 정법 사문 80 70 50 48 수학 계산 띠발...;
-
어... 어째서?
-
수능치는 꿈 꿨음… 국어 끝나자마자 “시x…”이러다가 갑자기 잠 깼음
-
동아리를 봤어야했나
-
국어는 이감이랑 85점으로 비슷하게 나왔는데 수학은 서바 88 ~84 일관성있게...
-
씨발병.신 걍 13111받고 고대최저 맞춰서 고경 드감ㅅㄱ
-
아걍죽고싶네 2
시발화작3개틀리고하...
-
10덮 언매 2
83이면 보정 2는 나오나
-
국어풀때 자꾸 이상한 생각 들어서 집중 힘들었음. 그 생각 들고 나서 그 뒤...
-
10덮 성적 0
언미영물지 88 88 2 48 37 진짜 사설지구는 하….. 국어 영어도 감이...
-
보정기준 2 가능할까요 이번은 다른 더프 수학보다 쉬운편이라 힘들겠죠 ㅠㅠ
슈크란