문과인데요, 좌미분계수 우미분계수 일반적으로 사용해도 되나요?

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제가 이걸로 세번째 글을 올렸는데요. 죄송하지만 답변들 많이 달아주셔서 감사한데 오히려 더 혼란스러워졌어요...

답변들 내용을 제 스스로 요약해보면

원함수가 미분가능하다고 해서 도함수가 연속이라는 보장은 없다. (반례: 사인뭐시기 함수)

그러니까 좌미분계수 우미분계수 (도함수의 좌극한 우극한 비교해서 같으면 미분가능하다고 판단하는 방법) 는

함부로 쓰면 안된다. 하지만 문과는 다항함수만 다루니까 써도 괜찮다.

라는거 같은데...저 아직도 이해가 잘안가요.

뭐라고 해야하지...

아무리 다항함수라고해도 구간마다 함수가 다르면

예를들어 사진의 있는것처럼

각 끊어진 구간이 연속인지 아닌지는 모르는거 잖아요. 좌미분계수 우미분계수를 쓰려면 미분가능하다는 전제를 깔고나서

쓰는건데 아예 미분가능성을 모르는 상황에서 판단이 가능한거에요?

그러니까 저 해설은 미분가능하다는 전제를 깔아준것도 아닌데 좌미분계수우미분계수를 써서 미분가능성을 판단했으니 틀린거 아니에요?

괜히 많은 정보를 알고나니까 이거 걸리는게 많아서 잘 쓰질 못하겠네요...사용하면 굉장히 편한데;;;

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이미설전컴 · 261307 · 13/05/06 22:20 · MS 2008

다항함수는 도함수가 무조건 연속이거든요,

다항식으로 써있어도 구간마다 함수가다른건 다항함수라고 안해요.

다항함수의 정의를 다시 확인해보세요

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아기나라 · 16293 · 13/05/07 00:39 · MS 2003

각 구간 내에서 다항함수기 때문에, 그 도함수도 역시 각 구간 내에서는 다항함수입니다.
구간에 따라 다르게 정의된 다항함수가 전 구간에서 미분가능하려면,
이미 각 구간내에서는 연속이고 미분이 가능하기 때문에,
구간의 경계값에서만 연속과 미분가능성만 따져주면 됩니다.
그래서 구간 경계값에서 우선 함수값을 구해서 연속인지 확인하고,
함수가 전 구간에서 연속이 된다면, 미분가능성은 미분계수의 정의를 사용하지 않고,
도함수의 좌극한값, 우극한값을 조사하여 같으면 미분이 가능하다고 말할 수 있습니다.
그 이유가 함수는 연속이지만 도함수가 불연속이여서 도함수의 극한값과 함수값이 다른 사인뭐시기 함수같은 경우가 없기 때문이죠

구간에 따라 정의된 함수가 "다항함수"이기 때문에 도함수의 극한값으로 미분계수를 구할 수 있는 거구요.
그렇다고 하여 "도함수의 좌극한"과 "좌미분계수"가 동일한 개념은 아니라는 점에 유의하세요.

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아기나라 · 16293 · 13/05/07 00:46 · MS 2003

좌미분계수란 미분계수의 정의(f'(a)) 중 좌극한 값(lim h->0으로 갈 때라면 -0을, lim x->a로 갈 때라면 a-0)을 의미하구요,
도함수의 좌극한이란 f'(x)를 구해놓고 lim x->a-0을 취하는 개념인데,
그 두 값이 반드시 일치하지는 않습니다.
그리고 도함수의 좌극한과 우극한값이 존재하지 않더라도, 미분계수는 존재하는 경우도 있구요.

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그리피스™ · 305596 · 13/05/07 10:01 · MS 2009

아...그렇군요. 감사합니다.
그런데 제가 나름 자료를 찾아봤는데 미분계수의 좌우값을 좌미분계수,우미분계수라고 하는 사람도 있고 도함수의 좌극한우극한을 이용하는걸 좌미분계수,우미분계수라고 하는 사람도 있네요. 이게 통일된 용어가 아닌가요?

어쨌든 이런 용어는 넘어가고 원함수가 미분가능하다고 해도 도함수의 연속성은 반례가 있기때문에 보장되는게 아니라는거죠? 다항함수라면 미분해도 연속이니 보장되지만 구간이 나눠진 함수는 다항함수라고 볼 수 없는거고...
참 이거 사용하기 까다롭네요.

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독수리5형제 · 163276 · 13/05/14 18:40 · MS 2006

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