미분에 대하여
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00068035680
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 
가 한 점 
를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 
의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고 -
좋아요 1 답글 달기 신고
-
진짜 겨울이란 건데 그럼... 앞으로 존나 춥겠다
-
ㅇ
-
내옆에는 다쓴 휴지뭉치 밖에 없네....
-
서성한 가능한가요..??
-
아 먼가 두껍고 보드보들하고 따뜻한 잠옷 사고 싶다는 생각 들었는데 11
차피 며칠 입을수 없다는 사실이 떠올라버림 ㅠㅠ
-
힘들까요..? 어디까지 지원 해볼만 할지 궁금해요..!
-
영어1맞고가면배가아프기때문
-
오 4
블라됐다!
-
요번에 혼자 알바하면서 반수했다는데 대박남. 전적대가 한의대인데 의대 성적 받아서...
-
사문 옛날 도표기출 풀때 ? 이게 왜 어렵다는거지 생각들면 경제 하면됨 무조건 고득점 간응
-
궁예질 하는 중 0
EYE IS ONE
-
짧다면 짧고, 길다면 긴 2년이란 시간 동안 짝사랑했다 2학년 여름 어느 날,...
-
물론 칼럼올릴 실력도 아닌것같긴 해요.. 네
-
22도 어디가쒀
-
진학사 1
진학사 지금 나오는 대학별 환산점수가 사과탐 가산점 반영한 점수인가요..?? 너무...
-
69수 영어변화 7
6모 75 9모 71 수능 85 GGB 형님 감사합니다
-
사문 44 45 47(84 92 98예상) 한지 42 42 48(9초반 80...
-
언제든 나가서 개원할 수 있으니 자유롭다 (O) (대부분 전문직 공통) 개원의는...
-
무휴반 주의사항 0
반수한다는 걸 티내면 안됨.. 이해하는 사람들도 있겠지만 티가 나면 알게 모르게...
-
-
법적으로금지해야..
-
질받 8
야해요
-
지에스25 마롱 티라미수라던가 라라스윗 티라미수라던가 먹어본사람 있음?
-
쌍욕한사람한테서 편지옴 44
-
아카네빵 맛있던데 안타까움
-
-
질받하고 싶러 6
어어ㅜ우
-
질문 15
-
한때는 예약구매 몇천명씩 대기해서 샀던건데 그래서 더 맛있게 느껴졌나 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ...
-
47이라 자격 박탈당함뇨
-
내게 성적표를 다오 날 저 깊은 나락의 구렁텅이로 떨어뜨릴 성적표를 어서 다오
-
현재 고3이고 부모님이 며칠전에 이혼하셨는데 경제적 사정이 많이 안좋아지면서 공부의...
-
선넘질받 29
안녕하세요 슬픈부엉이에요 질문해주세요 심심해요
-
초월석없애 크아악
-
내가 하는겜은 2
아무도 같이 안해줌
-
애들 너무 속도가 빠른데
-
하.. 인싸되고싶어울었어
-
홈트 40분완뇨 1
좀 더 하고 씻고 자야겟음뇨
-
흠..
-
재고가 어느 지점에나 쌓여있음
-
저도 질받 7
아무거나 고고
-
매수실시
-
제 친구가 한양대 다니는데 학교에서 과외 연결 해줬다는데 한양대는 원래 그런가요?...
-
손 시렵지만 15
오르비를 멈출수 없는나
-
이짓거릴안한다면 더 빠르게 읽을수있을거같은데 예전부터 이래왔어서 뇌빼고 나무위키나...
-
언매미적영어물리지구 100 96 1 48 42 인설의 가능한 점수인가?
-
이재용
-
상위 직종비율은 이과 65 : 문과 35다 그랬으면 좋겠네요 ㅋㅋ
-
나도 질받 8
-
놀라운 사실: 10
어제 산 바나나킥 다 못먹음 좀따 방 다 치우고 먹어야지
