미분에 대하여
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00068035680
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점 를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
자기가 다른 꿈이 있고 대학을 안 가도 잘 살 확실한 비전이 있고 자기가 행복할...
-
이사진을그대로쌤한테문자로보내서이것도정답될수없냐고여쭤봤는데...문제위에저걸지우는걸까먹어버림...
-
7덮 후기 6
주말에 배송와서 오늘 풀어봄. 언매 82 문학 어려웠고 비문학...
-
이런 땅덩어리에 나를 가둬두는게 말이안됨 난 진짜 세상에서 젤 높은 존재가 되서...
-
근데 솔직히 14
무등비 삼도극 이거 안나오겠지? 레전드 풀기 싫다노
-
군필 좋은점 3
군대 안가도됨
-
은행강도 성공하면 재벌이고 실패해도 깜빵에서 따뜻하게 재워주고 밥도 먹여주는데?
-
우짜나요 멀미난거처럼 7덮 끝나고나서부터 공부만 집중해서 하려하면 이래요 오늘...
-
진지하게 4
킬캠 2회 93분컷 22(못품) 14 28 29 30 틀 이면 진지하게 수능에서...
-
루소: 주권은 양도될 수도 분할될 수도 없지만 대표될 수는 있다. 정답은 댓글에
-
알바하면서 학원비 약간 감면받는 그런 제도요...
-
20000퍼센트 확률로 정병있음 하루에 3번 이상 바뀐다? 미친거임 근데 또 상메가...
-
옯창아님
-
꿀을 혼자 빨지 않고 15
남한테 홍보하는 사람의 말은 90퍼는 헛소리다 진짜 꿀이면 보통 다 빨고 말하던가 혼자만 빨지
-
이따가 와야지 2
-
국어 기출 0
국어 한동안 안해서 감 다 잃은 현역인데요… 행동강령도 정리할 겸, 4년치가 적당할까요?
-
내 친구 아빠가 사업하셔서 지방사립대 대학 졸업증만 따면 사업 물려받음 ㅅㅂ 부럽다
-
미안해 우기야
-
성공하는법 12
님들이 내 발밑에오면 제가 성공하게 도와드림 왜? 나는 세계를넘어 지구, 지구를...
-
항상 존재에 고마움에 대해 :)
-
나도 버킷리스트 16
1. 무슨과든 설대 고대 가기2. 수능 전까지 05년생 호감고닉 되기3. 수능...
-
정법 선거 문제 0
정법 선거 문제만 따로 모아둔 문제집이 있을까요?
-
인사이드아웃 개재미없다 12
너무유아용같은데
-
나한테 니 얼굴은 거울보면 스스로도 놀라게 생겼다고 놀리는 것 같음
-
나는 눈팅러들한테 조리돌림밖에 안당해봐서 모르겠는데…
-
아몰랑 대학갈래 4
뿌뿌뿌
-
버킷리스트 6
양동이목록
-
요즘 살면서 6
커뮤나 sns에 뇌가 절여지지 않는게 정말 중요한듯
-
버킷리스트 1
리세마라
-
3000부 판매신화 기록 지구과학 핵심모음집을 소개합니다. (현재 오르비전자책...
-
으헤 9
오뿌이 공부하기 시러
-
서로 실제로 아는 사이겠구나
-
간다면 미디어영상학과를 진학하고 싶네요
-
이미지쌤 밖에 없음 ㄹㅇ 3모 노베 6등급에서 6모 3등급 으로 만들어주신...
-
이슬톡톡 2
복숭아보단 파인애플이 맛있는듯 파인애플은 걍 음료수맛인데 복숭아는 묘하게 술맛남
-
와구롸4ㅜ오어ㅓㅇ어구거ㅓ
-
해당 문제에서 설정점(시상하부 설정온도)은 주변 온도에 따라 달라진다고 나와...
-
2등급 중간일때용
-
대학 안 가도 대학 내용 얼추 배울 수 있는건 맞긴한데.. 10
뭐 대충 커리큘럼 보고 과목에 맞는 대학교재들 사서 독학하면 되긴하는데 (차피 잘...
-
올해 버킷리스트 19
1. 현역 정시로 성공해 입시판 뜨기 2. 수능 전까지 오르비에 06년생 고정닉...
-
살기싫다 2
5분만 죽어있어야지
-
수2에서 이계도함수는 미적분이라 범위외인데 가속도는 또 범위내네
-
ㅈㄱㄴ 잘 몰라서… 알려주실분 ㅠ
-
현재 강대 s2다니고 있는 재종생입니다. 6평 언미물화 백분위 96 99 89...
-
바야흐로 5년 전, 그래도 나름 알아주는 인서울 상위권 대학 공대에 입학했음. 근데...
-
마음이 차분해지고 좋네요 뭔가 좀 더 꼼꼼해지고 구멍이 메꿔지는 느낌
-
낭낭하게 급전은 땡길 수 있지 않을까.... 일단 공통 모의고사니까....모든...
-
반수 시작하려거 하는데 추천하는 개념 강의 있으신가요
-
3나오긴했는데 4로 봐도 되는 수준의 허수임 걍 마더텅이나 n기출 같은 기본 기출서가 더 괜찮을까용