미분에 대하여
게시글 주소: https://m.orbi.kr/00068035680
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점 를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
드릴 풀고 있는데 고민 해보고 모르겠으면 해설듣고 이해하고 넘어가는 식으로 공부하고...
-
하프모 Goat 6
지인선N제 지인선 N제 찬양만 시즌 1557번째
-
정석이랄껀 없으니 많은 분들 칼럼도 참고하며 여러 조언도 참고하고 그러면서 또 제...
-
가뜩이나 학습 효율 떨어지는 사람인데 100분은 너무나도 큰 시간 낭비 차라리 하프모를 두번 볼래
-
미쳐가는건가.. 근데 진짜 1년만 더 하고 싶음 공부도 7월초에 정식으로 시작한거라...
-
볼때마다 진짜 개호감임 ㅋㅋㅋ 아기치타 프사 많아졌으면
-
그 심리도 궁금한데
-
독서 - 그냥 하루 두 시간씩 꾸준히, 최대한 많이 하기 (양보다 질. 지문 외울...
-
컨텐츠 다 구매해서 쓰면 1인당 수십에서 수백은 쓸텐데 수능 전체 시장으로 보면...
-
악의 물리머신 출격 10
물1물2 + 물리논술 경희의 쟁취한다.
-
후회남지 않도록
-
뱅온 6
ㅇㅇ
-
니나한테 뺨맞고 멍때리는 표정이 ㄹㅇ임.. 나름 거기선 어른 역인데 어른이라기엔 너무 어린걸
-
6모 73, 9모 88(미적2틀) 백분위는 91이고 학원에서 푸는 사설모나 메가...
-
그것보다 어렵게 내면 도대체 어느정도일지 상상이 안가네
-
실모2개 4점n제10문제 수능때는 백분위 99를 꼭 쟁취
-
모르는 사람이랑 같은 방을 쓰고 몇달동안 지내는 것도 좋같은데 심지어 룸메가 인싸에...
-
고2 노베가 지금부터 ㅈ빠지게 정시 박으면 현역 인서울 가능하다 생각하심??
-
을 뭐라고 부름? 궁금궁금
-
아몰라 난몰라
-
과탐실모를 사지말까...
-
정병호 토탈리콜 3
3등급인데 듣기 진짜 좋은듯 문제 처음 볼때 행동강령 같은거 알려주고 이해도 너무...
-
있 노 ?
-
렛츠 고
-
고려대 계열적합 면접평가 내용 보면 필요시 학생부에 기재된 내용을 확인할 수 있다고...
-
성대 논술 너무 어려워 스키마모도 너무 어려워 9평 성적표는 언제 주는거야 망할 학교 같으니
-
솔직히 다 현장에서 친 사람이 해야한다 그게 나야 두비두밥.....(따흑) 19...
-
전국연합학력평가 해설지좀 자세히 쓰면 안되나 특히 탐구 ㅅㅂ 그렇게 해설지 쓸 거면...
-
이건 수많은 데이터를 기반으로 귀납적으로 분석한 ai 챗 ppt 결과임
-
1 7 86 993 11111
-
수강평 ㅋㅋ 21
ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
공부 기록 시작합니다. D-38부터 인증할게요. 전체적인 계획입니다. 독서 -...
-
시대 국어컨 6
엑셀이랑 큐레이션 풀어보신 분들 간쓸개 대비 퀄 좋았나요?
-
모밴으로 글써도 10
297명이 본다는걸 깨달은 나
-
얼탱
-
연애하는법 8
-
잘자...
-
난 딱 2명 있는데 물리의 현정훈 문학의 김재훈 이분들은 진짜 아직도 처음 들었을...
-
순수함보단 계산적임
-
지방러들 갈 생각 있음?? 월 500은 깨질거 같던데
-
저번에 이캠갔다왔는데 거의 완공직전이던데
-
보통은 맡게되는 친구들이 대부분 하위권일거임 이유를 잘 생각해보면... 공부를 좀...
-
ㅈㄱㄴ
-
선 넘네 진짜 12
살다살다 생김치는 고사하고 양배추김치를 주는 국밥집은 첨봤네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 넌 맛 떠나서 별점 1개다
-
럽코나 학원물은 나이 들어서 보면 오글거릴 듯 지금 초딩 때 보던 애니 보면 존나 오글거리듯이
-
스토리, 작화 등등 종합적으로 고려해서
-
28 수능부터는 내신 안 좋은 사람은 정시로 메디컬 가는거 막히는거 아님? 2
정시에서도 내신 보는 쪽으로 바뀌는거 같던데
-
자살했다고 들었는디?
-
나오는게 이상하긴한데
-
환산점수는높은데 등급은낮으면 뭐가맞는거지..